Trilha de Matemática do 9º ano
São 200 questões em cinco eixos da BNCC e cinco níveis, de contas diretas até questões do Colégio Tiradentes, do IFSul e do estilo OBMEP. Cada nível tem 8 questões, com pista e resolução. Acertando 6 de 8, você sobe de nível.
A trilha: 5 eixos, 5 níveis
Toque num quadro para resolver as 8 questões daquele nível. O seu resultado fica guardado só neste aparelho, sem cadastro. Quem fez o teste de nível vê o quadro marcado com “comece aqui”.
1 · Base: Contas e ideias diretas2 · Prática: Uma ou duas etapas3 · Situação: Problemas do dia a dia4 · Prova: Questões de prova de verdade5 · Olimpíada: Estilo OBMEP
No nível 4, as questões são de provas reais do Colégio Tiradentes e do IFSul: elas abrem no Banco de Questões, e você volta aqui para marcar se acertou.
No 9º ano, os níveis 4 e 5 têm também treino extra: 64 questões no estilo das provas do Tiradentes e do ENEM, todas com figura. O treino extra aparece no fim de cada nível e não muda o seu resultado na trilha.
Resumo de cada unidade
Travou num nível? O resumo do que você precisa saber e um exemplo resolvido de cada uma das 8 unidades do 9º ano.
O que você precisa saber
- Racional: fração, decimal finito ou dízima periódica. Irracional: decimal infinito sem período (\sqrt2, \sqrt{20}, \pi).
- Localizar \sqrt n: quadrados vizinhos, depois testa uma casa decimal.
- Mesma base: na multiplicação soma expoentes, na divisão subtrai, na potência de potência multiplica.
- a^{-n}=\frac1{a^n} inverte, não troca sinal. a^0=1.
- a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}: o denominador é o índice. Tire a raiz primeiro.
- \sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b, mas \sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b.
- Só soma radical igual. Simplifique antes de somar.
- Denominador \sqrt b: multiplica por \sqrt b. Denominador \sqrt b\pm\sqrt c: multiplica pelo conjugado.
- Notação científica: a\cdot10^n com 1\le a<10. Ajuste no fim.
Como reconhecer o que a questão pede
- A raiz é exata? \sqrt{81}, \sqrt[3]{-27}: calcula e segue.
- Está na forma de potência? 16^{0{,}75}: escreve o decimal como fração (\frac34) e tira a raiz primeiro.
- O radicando tem quadrado perfeito dentro? \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}: simplifica.
- É soma de radicais? Simplifique cada um e junta só os iguais.
- Tem raiz no denominador? Racionalize (um termo: pela raiz; dois termos: pelo conjugado).
- É radical dentro de radical? Nível Tiradentes: procura um quadrado perfeito do tipo (\sqrt x+\sqrt y)^2.
- Confira com aproximação: \sqrt2\approx1{,}41, \sqrt3\approx1{,}73, \sqrt5\approx2{,}24.
Exemplo resolvido
Localize \sqrt{30} na reta com uma casa decimal.
- Quadrados vizinhos: 5^2=25 e 6^2=36. Como 25<30<36, \sqrt{30} está entre 5 e 6.
- Refinar: 5{,}4^2=29{,}16 e 5{,}5^2=30{,}25. Então \sqrt{30} está entre 5,4 e 5,5.
- Qual está mais perto? 30{,}25-30=0{,}25 e 30-29{,}16=0{,}84. Fica mais perto de 5,5.
- Conferir: \sqrt{30}=5{,}477\ldots na calculadora.
O que você precisa saber
- Porcentagem é fração de 100: p\%=\frac p{100}.
- Aumento de p\%: multiplica por 1+\frac p{100}. Desconto: por 1-\frac p{100}.
- Valor original: divide pelo fator. Nunca soma de volta o mesmo percentual.
- Taxa de variação: (novo − antigo) ÷ antigo. A base é o antigo.
- Percentuais sucessivos: multiplica os fatores. +10\% e -10\% dá 0{,}99.
- Juros simples: J=Cit. Compostos: M=C(1+i)^t. Taxa e tempo na mesma unidade.
- Razão entre grandezas diferentes tem unidade: km/h, hab/km², g/cm³, km/L, R$/kg.
- km/h \div\,3{,}6 = m/s.
- Direta: y/x constante. Inversa: x\cdot y constante.
Como reconhecer o que a questão pede
- Qual é a base? Porcentagem de quê? Variação sempre sobre o valor antigo.
- Tem mais de um percentual? Multiplique os fatores, um depois do outro.
- Pede o valor de antes? Divida pelo fator.
- São grandezas de espécies diferentes? Divida uma pela outra e escreve a unidade.
- Vai usar regra de três? Antes, testa: dobrando uma, a outra dobra ou cai pela metade?
- É escala? Mesma unidade em cima e embaixo. Para área, eleva a escala ao quadrado.
- Confira com 100 reais ou com valores redondos.
Exemplo resolvido
Uma TV custava R$ 2 400,00 e passou a custar R$ 2 760,00. De quanto por cento foi o aumento?
- Quanto mudou: 2 760 − 2 400 = 360 reais.
- Comparado com o que era (a base é o antigo): \dfrac{360}{2\,400}=0{,}15=15\%.
- Pelo fator: 2\,760\div2\,400=1{,}15. Fator 1,15 quer dizer aumento de 15%.
O que você precisa saber
- (a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2. O 2ab são os dois retângulos.
- (a+b)(a-b)=a^2-b^2.
- Fatorar: primeiro fator comum, depois diferença de quadrados, trinômio ou soma e produto.
- Confira a fatoração multiplicando de volta.
- Fração algébrica: cancela fatores, nunca parcelas. Anote os valores proibidos.
- A\cdot B=0\Rightarrow A=0 ou B=0. Só com zero do outro lado.
- Nunca divide a equação por x: perde a raiz 0.
- \Delta=b^2-4ac; x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}.
- \Delta>0: duas raízes; =0: uma; <0: nenhuma real.
Como reconhecer o que a questão pede
- Está tudo de um lado, com zero do outro? Se não, passa.
- Tem fator comum em todos os termos? Divida ou põe em evidência.
- Falta o termo em x? x^2=k: x=\pm\sqrt k.
- Falta o termo independente? Fator x: uma raiz é 0.
- Soma e produto saem de cabeça? Fatore.
- Não saem? Fórmula, começando pelo discriminante.
- É problema? Confira se cada raiz faz sentido no texto.
Exemplo resolvido
Calcule sem calculadora 102^2 e 98\cdot102.
- 102^2=(100+2)^2=10\,000+400+4=10\,404.
- 98\cdot102=(100-2)(100+2)=10\,000-4=9\,996.
- O produto notável troca uma conta difícil por três fáceis.
O que você precisa saber
- Função: cada entrada x tem uma única saída y.
- f(2)=7: quando x vale 2, y vale 7.
- Quatro formas da mesma função: frase, tabela, lei e gráfico.
- Afim y=ax+b: b é o valor inicial, a a taxa de variação.
- a>0 cresce, a<0 decresce, a=0 constante.
- Só com b=0 é proporcional: dobra x, dobra y.
- Taxa por dois pontos: a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. Zero: x=-\frac ba.
- Gráfico de situação: sobe, fica reto, desce. Não é o desenho do caminho.
- Quadrática: parábola; a>0 boca para cima; corta y em c; zeros pela equação; vértice no meio dos zeros.
Como reconhecer o que a questão pede
- Cada entrada tem uma saída só? Então é função.
- As diferenças da tabela são iguais? Afim. Taxa = diferença de y ÷ diferença de x.
- Tem parte fixa? É o b. Não é proporcional.
- Pede "quando chega a…"? Iguale a lei ao valor e resolve.
- Pede "a partir de quando compensa"? Iguale as duas leis para achar o empate.
- Aparece x²? Parábola: zeros, corte em y e vértice.
- Pede máximo ou mínimo? Vértice, no meio dos zeros.
Exemplo resolvido
Numa operadora, cada R$ 1,00 de recarga dá 50 MB de internet. Monte a tabela, a lei e calcule quanto dá uma recarga de R$ 20,00.
- Tabela: R$ 1 → 50 MB, R$ 2 → 100 MB, R$ 3 → 150 MB.
- Lei: f(x)=50x, com x em reais e f(x) em MB.
- f(20)=1\,000 MB, ou 1 GB. É linear: dobrar a recarga dobra os dados.
O que você precisa saber
- Complementares somam 90^\circ; suplementares, 180^\circ.
- Opostos pelo vértice são iguais.
- Triângulo: 180^\circ. Quadrilátero: 360^\circ. Externo = soma dos dois internos não vizinhos.
- Paralelas com transversal: só duas medidas, o agudo e o obtuso, que somam 180°.
- Correspondentes, alternos internos e alternos externos: iguais.
- Colaterais (internos ou externos): somam 180°.
- Bico entre paralelas: soma dos ângulos com as paralelas.
- Central = arco. Inscrito = metade do arco. Inscrito na semicircunferência: 90^\circ.
- Quadrilátero inscrito: opostos somam 180^\circ. Polígono regular: central 360^\circ/n. Relógio: 30^\circ por hora.
Como reconhecer o que a questão pede
- Tem duas retas paralelas? Marque quais ângulos são agudos e quais são obtusos.
- Os dois ângulos são do mesmo tipo? Iguale. Um agudo e um obtuso? Soma e iguala a 180°.
- Tem um bico entre paralelas? Trace uma paralela pelo bico.
- Fechou um triângulo? 180°. Um quadrilátero? 360°.
- Vértice no centro? Ângulo central = arco. Vértice na circunferência? Metade do arco.
- Um lado é diâmetro? O ângulo oposto é reto.
- Relógio? 30° por número e 0,5° por minuto no ponteiro das horas.
Exemplo resolvido
Um ângulo mede o dobro do seu complemento. Quanto ele mede?
- Chame o ângulo de x. O complemento é 90^\circ-x.
- "O dobro": x=2(90^\circ-x)=180^\circ-2x.
- 3x=180^\circ, x=60^\circ. Confira: o complemento é 30^\circ, e 60=2\cdot30.
O que você precisa saber
- Semelhantes: ângulos iguais e lados proporcionais. Razão k.
- Comprimentos \times k; áreas \times k^2.
- Triângulos: basta AA, LAL ou LLL.
- Reta paralela a um lado forma um triângulo semelhante: \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.
- Sombras no mesmo instante: altura ÷ sombra é constante.
- Tales: paralelas cortadas por transversais dão segmentos proporcionais, \frac ab=\frac{a^{\prime}}{b^{\prime}}.
- Relações métricas: c^2=am, b^2=an, h^2=mn, bc=ah.
- Pitágoras: a^2=b^2+c^2. Vale ao contrário.
- Trios: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 e múltiplos.
Como reconhecer o que a questão pede
- Tem uma ampliação, foto, mapa ou maquete? Ache k e multiplica. Área: k².
- Tem sombra ou espelho? Dois triângulos semelhantes por AA.
- Tem uma reta paralela a um lado do triângulo? Triângulo pequeno ~ triângulo grande.
- Tem várias paralelas e duas transversais? Tales.
- Tem ângulo reto e dois lados conhecidos? Pitágoras.
- Tem a altura sobre a hipotenusa? Relações métricas.
- Pergunte se é retângulo? Maior lado ao quadrado contra a soma dos outros dois.
Exemplo resolvido
Um triângulo de lados 3 cm, 4 cm e 6 cm foi ampliado, e o menor lado passou a medir 7,5 cm. Quanto medem os outros lados? E quantas vezes a área aumentou?
- Razão: k=7{,}5\div3=2{,}5.
- Lados: 4\cdot2{,}5=10 cm e 6\cdot2{,}5=15 cm.
- Área: k^2=6{,}25 vezes maior.
Unidade 7
Plano cartesiano, polígonos regulares, vistas e volumes
O que você precisa saber
- Ponto médio: o meio de cada coordenada.
- Distância: horizontal ou vertical, diferença; inclinada, Pitágoras na malha.
- Área no plano: retângulo envolvente menos os triângulos que sobram.
- Polígono regular: externo e central 360^\circ/n; interno 180^\circ-360^\circ/n; diagonais n(n-3)/2.
- Algoritmo: passos que qualquer um segue. Fluxograma: ações, perguntas e setas.
- Vistas: frente, lado e cima. Uma vista só não identifica o objeto.
- Prisma e cilindro: V=A_b\cdot h. Cilindro: \pi r^2h.
- 1 dm³ = 1 L; 1 m³ = 1 000 L; 1 cm³ = 1 mL.
- Muito grande e muito pequeno: UA, ano-luz, μm, nm, GB e notação científica.
Como reconhecer o que a questão pede
- Dois pontos e "meio"? Média de cada coordenada.
- Dois pontos e "distância"? Desenhe o triângulo na malha e usa Pitágoras.
- Polígono regular? Comece por 360° ÷ n.
- Passo a passo de construção? Escreva ações curtas e a condição de parada.
- Objeto e desenho? Pergunta de que lado se olha.
- Quanto cabe? Área da base vezes altura, tudo na mesma unidade.
- Muitos zeros? Notação científica e a unidade certa.
Exemplo resolvido
Calcule o perímetro do triângulo de vértices A(0, 0), B(6, 0) e C(6, 8).
- AB está na horizontal: 6. BC está na vertical: 8.
- AC é inclinado: catetos 6 e 8, \sqrt{36+64}=10.
- Perímetro: 6 + 8 + 10 = 24.
O que você precisa saber
- Probabilidade: favoráveis ÷ possíveis; P(\text{não }A)=1-P(A).
- Espaço amostral: lista ou princípio multiplicativo.
- Independentes (com reposição, moeda e dado): multiplica as chances.
- Dependentes (sem reposição): multiplica, recalculando depois de cada retirada.
- Gráfico que engana: eixo cortado, escala irregular, figura que cresce, sem fonte, período escolhido.
- Barras comparam, setores dividem um todo, linhas mostram o tempo, histograma agrupa em classes.
- Média é puxada por extremos; mediana resiste; moda é o mais frequente; amplitude mede a variação.
- Amostra boa é sorteada (simples, sistemática ou estratificada); voluntários viciam.
- Relatório: pergunta, amostra, tabela, gráfico, medidas e limites.
Como reconhecer o que a questão pede
- "E" entre dois sorteios? Multiplique. Pergunte se o primeiro muda o segundo.
- "Ou" entre caminhos diferentes? Some os caminhos da árvore.
- "Pelo menos um"? Calcule o contrário e tira de 1.
- Gráfico de notícia? Olhe onde o eixo começa e procura a fonte.
- Valor típico? Tem valor muito diferente dos outros? Use a mediana.
- Que gráfico? Categorias, partes de um todo ou tempo.
- Pesquisa? Quem foi ouvido e como foi escolhido.
Exemplo resolvido
A senha de um armário tem uma letra (A, B ou C) seguida de um algarismo (0 a 9). Uma senha é sorteada. Qual é a probabilidade de começar com A e terminar em número par?
- Letra e algarismo não dependem um do outro: eventos independentes.
- Começar com A: \frac13. Terminar em par (0, 2, 4, 6, 8): \frac5{10}=\frac12.
- Juntos: \frac13\cdot\frac12=\frac16. Conferindo pela contagem: 5 senhas servem entre 30.
Para o professor e para estudar em casa
Kit do 9º ano
As 8 aulas completas em PDF (320 páginas): teoria, exemplos com o porquê de cada passo, lacunas, 730 questões em quatro degraus, revisão que volta no que já passou, desafios e gabarito comentado. Junto vão o DOCX editável de cada aula e a planilha de correção de cada diagnóstico, que mostra o acerto por habilidade e quanto a turma avançou entre a entrada e a saída.
Habilidades: Base Nacional Comum Curricular (MEC), texto oficial. Questões e resoluções autorais de Rafael Teixeira, exceto as do nível 4 e algumas do nível 5, que são de provas do Colégio Tiradentes e do IFSul e estão no Banco de Questões.