DOSSIÊ 900+ · ENEM 2023

Triângulo mágico

309 de 588 pelo b do Inep 745 b do Inep
GABARITOE PARÂMETRO Bb 745 (Inep) · #309 CAUSA DOMINANTEContagem de incidências

Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.

QUESTÃO OFICIAL

ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.

ENEM 2023 Caderno 7 · Azul Q146

O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.

Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.

Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

Triângulo formado por seis círculos vazios: um em cada vértice e um no meio de cada lado, ligados por segmentos.
ENEM 2023 · Q146 · figura oficial (INEP).Toque ou clique para ampliar.
A
Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.
B
Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.
C
Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.
D
Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.
E
Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.

DADOS DO INEP · ENEM 2023 · Q146

Acerto geral
22%
de 664 mil no caderno azul
Quem tira 700
43%
acerta
Quem tira 800
80%
acerta
Parâmetro b
745
valor do Inep

#309 de 588. Microdados do ENEM 2023 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.

APOIO VISUAL

SOME OS TRÊS LADOS DE UMA VEZ.

Os vértices aparecem duas vezes nessa soma; os pontos intermediários, uma vez.

SOME OS TRÊS LADOS DE UMA VEZ.
Apoio didático · ENEM 2023 · Q146. Toque ou clique para ampliar.

MAPA DA QUESTÃO

ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.

O QUE DECIDE 3S

soma dos três lados

ESTRATÉGIA 21 + V

V=soma dos vértices

RESPOSTA E

gabarito oficial

IDENTIFICAÇÃO

A QUESTÃO EM UMA LINHA

Caderno
Caderno 7 · Azul
Questão
146
Gabarito
E
Conteúdo
Raciocínio algébrico
Subconteúdo
Progressão aritmética · soma estruturada

DIFICULDADE

ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA

PARÂMETRO Bb 745 (Inep) · #309#309 de 588
CAUSA DOMINANTEContagem de incidências

Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.

Também pesa: PA nos vértices · soma dos lados

POR QUE É DIFÍCIL?

A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA

  • Vértices possíveis: 1,3,5 ou 2,4,6.
  • A soma total dos números é 21.
  • Em 3S, cada vértice aparece duas vezes.

ANTES DA CONTA

Evite tentar preencher o triângulo caso a caso antes de explorar a soma global.

1
INTERPRETAR 3S

soma dos três lados

2
ESTRUTURAR 21 + V

V=soma dos vértices

3
CONFERIR alternativa E

resultado final

O atalho é uma contagem de incidências: a soma dos três lados não é 21, porque os vértices são contados duas vezes.

DICAS PROGRESSIVAS

ABRA SÓ O QUE PRECISAR

DICA 01

Ache os dois conjuntos possíveis de vértices.

DICA 02

Calcule a soma V de cada conjunto.

DICA 03

Use 3S=21+V.

RESOLUÇÃO PADRÃO OURO

RESOLUÇÃO PASSO A PASSO

Organize o raciocínio antes da conta.

  1. INTERPRETAR
    Uma PA de razão 2 escolhida entre 1 e 6 só pode ser {1,3,5} ou {2,4,6}.
  2. ESTRUTURAR
    A soma de todos os seis números é 21. Ao somar os três lados, os três vértices são contados duas vezes e os demais uma vez.
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA
    Se S é a soma comum de cada lado e V é a soma dos vértices, então 3S = 21 + V.
  4. CALCULAR
    Para V = 9, S = 21 + 93 = 10. Para V = 12, S = 21 + 123 = 11. As duas montagens existem: vértices 1, 3, 5 com 6, 2, 4 nos meios (lados 1+6+3, 3+2+5, 5+4+1, todos 10) e vértices 2, 4, 6 com 5, 1, 3 nos meios (lados 2+5+4, 4+1+6, 6+3+2, todos 11).
  5. CONFERIR
    Existem duas possibilidades, 10 e 11. Alternativa E.

SEGUNDO CAMINHO

SEGUNDO CAMINHO

Também é possível montar explicitamente os dois triângulos, mas a identidade de soma evita testar muitas permutações.

NA PROVA EU FARIA ASSIM

Eu começaria pela identidade 3S = 21 + V.

VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.

Somar os três lados como se cada número aparecesse uma única vez.

DISTRATOR PRINCIPAL

DISTRATOR PRINCIPAL

A alternativa D traz 9 e 12, que são as somas dos vértices, não as somas de cada lado.

COMO RECONHECER UMA PARECIDA?

RECONHEÇA A ESTRUTURA

Em figuras com elementos compartilhados, some globalmente e conte quantas vezes cada elemento aparece.

APRENDIZADO TRANSFERÍVEL

O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

Incidência é uma ferramenta algébrica: elementos nos vértices pertencem a dois lados.

ESTRATÉGIA DE TEMPOMeta: 2 a 3 minutos.