DOSSIÊ 900+ · ENEM 2025
Três dados
Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.
QUESTÃO OFICIAL
ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.
Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.
O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é
Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.
DADOS DO INEP · ENEM 2025 · Q178
- Acerto geral
- 14% de 793 mil no caderno azul
- Quem tira 700
- 21% acerta
- Quem tira 800
- 39% acerta
- Parâmetro b
- 864 valor do Inep
#79 de 588. Microdados do ENEM 2025 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.
APOIO DE CONTAGEM
NÃO CONTE ARTUR. CONTE QUANDO JOÃO NÃO PERDE.
Para cada resultado de João, os dois dados de Artur precisam ficar abaixo ou iguais a esse valor. A sequência 1², 2², ..., 6² organiza toda a contagem.
MAPA DA QUESTÃO
ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.
Tentar listar diretamente todas as vitórias de Artur cria muitos casos e aumenta o risco de esquecer empates.
João vence quando seu resultado é maior ou igual ao máximo dos dois dados de Artur. Esse evento tem uma estrutura quadrada muito simples.
Artur joga com dois dados e usa o maior; João joga com um dado e ainda leva o empate. As regras não são simétricas.
IDENTIFICAÇÃO
A QUESTÃO EM UMA LINHA
- Caderno
- Caderno 7 · Azul
- Questão
- 178
- Gabarito
- E
- Conteúdo
- Probabilidade
- Subconteúdo
- Distribuição do máximo · espaço amostral · evento complementar
DIFICULDADE
ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA
Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.
Também pesa: Contagem · comparação de estratégias
POR QUE É DIFÍCIL?
A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA
- A questão parece um problema de comparação entre três dados iguais, mas as regras criam papéis diferentes: Artur usa o máximo de dois resultados, enquanto João usa um único resultado e vence também nos empates.
- Contar diretamente as vitórias de Artur exige controlar vários pares para cada resultado de João. O caminho mais econômico é inverter a pergunta e contar quando João vence.
- O padrão decisivo é perceber que, se João obtém k, ele vence exatamente quando os dois dados de Artur são menores ou iguais a k. Isso produz k² pares favoráveis.
ANTES DA CONTA
Não comece listando as vitórias de Artur. Fixe o número de João. Se João tira k, ele vence quando os dois dados de Artur ficam entre 1 e k. Portanto, existem k² pares favoráveis a João.
três lançamentos independentes
os dois dados de Artur devem ser no máximo k
empates já estão incluídos
Quando um jogador ganha inclusive no empate, o complemento costuma ser mais barato de contar.
DICAS PROGRESSIVAS
ABRA SÓ O QUE PRECISAR
DICA 01
O espaço amostral completo tem 6 · 6 · 6 = 216 resultados equiprováveis.
DICA 02
Se João tira 4, quantos pares ordenados podem aparecer nos dois dados de Artur sem que o máximo ultrapasse 4? São 4² = 16.
DICA 03
Some os casos de João para k = 1, 2, ..., 6. Depois use o complementar para obter as vitórias de Artur.
RESOLUÇÃO PADRÃO OURO
CONTE O EVENTO MAIS ORGANIZADO
A vantagem não está em fazer mais contas. Está em escolher o lado da comparação cuja contagem vira uma sequência simples de quadrados.
- INTERPRETARArtur lança dois dados e fica com o maior resultado. João lança um dado. João vence quando seu resultado é maior ou igual ao máximo de Artur, porque o empate também favorece João.
- ESTRUTURAROs três lançamentos geram 6³ = 216 resultados equiprováveis. Vamos contar primeiro as vitórias de João, fixando o valor k obtido no dado dele.
- ESCOLHER ESTRATÉGIASe João tira k, os dois dados de Artur precisam ser no máximo k. Cada dado tem k possibilidades, então existem k² pares. Para k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, obtemos 1, 4, 9, 16, 25 e 36 casos.
- CALCULARJoão vence em 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² = 91 resultados. Logo, P(J) = 91216. Artur vence nos demais: 216 − 91 = 125, então P(A) = 125216.
- CONFERIRComo 125 > 91, Artur tem a maior probabilidade de vitória. A alternativa correta é E: Artur, com probabilidade 125216.
SEGUNDO CAMINHO
CONTAR ARTUR DIRETAMENTE
Também é possível calcular diretamente as vitórias de Artur. Se João tira j, Artur vence quando pelo menos um de seus dados é maior que j. Entre os 36 pares possíveis de Artur, existem j² pares em que ambos são menores ou iguais a j. Assim, Artur tem 36 − j² vitórias para esse valor de João. Somando para j = 1 a 6: (36−1)+(36−4)+(36−9)+(36−16)+(36−25)+(36−36) = 125. O resultado é o mesmo, mas a leitura pelo complemento é conceitualmente mais limpa.
NA PROVA EU FARIA ASSIM
1. Eu marcaria imediatamente que empate é do João.
2. Depois fixaria o resultado de João: se ele tira k, há k² pares dos dados de Artur em que João não perde.
3. Somaria 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91. Então Artur fica com 216 − 91 = 125. Alternativa E.
VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.
O erro mais perigoso é tratar os três dados como se tivessem a mesma função. Artur não compara cada dado separadamente com João: ele usa o maior dos dois. Além disso, o empate pertence a João. Ignorar qualquer uma dessas duas regras altera a contagem inteira.
DISTRATOR PRINCIPAL
CONTAR CERTO E ATRIBUIR AO JOGADOR ERRADO
A fração 91216 aparece nas alternativas para capturar quem faz a contagem correta dos casos em que João vence, mas atribui essa probabilidade ao jogador errado.
COMO RECONHECER UMA PARECIDA?
FIXE UM RESULTADO E CONTE O COMPLEMENTO
Em problemas de probabilidade com máximos, mínimos ou empates, pergunte antes: qual evento fica mais simples se eu fixar um dos resultados? Muitas vezes a distribuição acumulada é mais fácil do que contar o evento pedido diretamente.
APRENDIZADO TRANSFERÍVEL
O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
A ideia P(máximo ≤ k) aparece em jogos, estatística, ordenação e problemas com várias tentativas. Com dois dados independentes de 1 a 6, a condição máximo ≤ k equivale a exigir que ambos estejam entre 1 e k, gerando k² casos. Esse raciocínio generaliza para mais dados: com n dados, seriam kⁿ casos.