DOSSIÊ 900+ · ENEM 2020

Lei de Zipf

74 de 588 pelo b do Inep 866 b do Inep
GABARITOA PARÂMETRO Bb 866 (Inep) · #74 CAUSA DOMINANTETransformação algébrica

Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.

QUESTÃO OFICIAL

ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.

ENEM 2020 Caderno 7 · Azul Q149

A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (f) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (r). Ela é dada por

f = ArB

O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, r = 1 para a palavra mais frequente, r = 2 para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. A e B são constantes positivas.

Diponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adatpado).

Com base nos valores de X = log(r) e Y = log(f), é possível estimar valores para A e B.

No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre Y e X é

A
Y = log(A) − B·X
B
Y = log(A)X + log(B)
C
Y = log(A)B − X
D
Y = log(A)B·X
E
Y = log(A)XB

Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.

DADOS DO INEP · ENEM 2020 · Q149

Acerto geral
16%
de 625 mil no caderno azul
Quem tira 700
18%
acerta
Quem tira 800
40%
acerta
Parâmetro b
866
valor do Inep

#74 de 588. Microdados do ENEM 2020 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.

APOIO VISUAL

O LOGARITMO LINEARIZA A LEI DE ZIPF.

Use duas propriedades em sequência: log do quociente e log da potência. Depois substitua X e Y.

Transformação da Lei de Zipf na equação Y igual log A menos B vezes X.
Apoio didático · ENEM 2020 · Q149. Toque ou clique para ampliar.

MAPA DA QUESTÃO

ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.

O QUE PARECE DIFÍCIL Uma lei linguística

O contexto parece especializado, mas não interfere na álgebra.

O QUE REALMENTE DECIDE 2 propriedades de log

Quociente vira diferença; expoente desce multiplicando.

ONDE SE PERDE TEMPO Tentar interpretar A e B

Não é necessário estimar constantes; basta transformar a expressão.

IDENTIFICAÇÃO

A QUESTÃO EM UMA LINHA

Caderno
Caderno 7 · Azul
Questão
149
Gabarito
A
Conteúdo
Logaritmos
Subconteúdo
Propriedades de logaritmos · linearização · função afim

DIFICULDADE

ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA

PARÂMETRO Bb 866 (Inep) · #74#74 de 588
CAUSA DOMINANTETransformação algébrica

Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.

Também pesa: Log de quociente · log de potência · mudança de variáveis

POR QUE É DIFÍCIL?

A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA

  • O contexto novo pode fazer o aluno procurar significado estatístico onde só é necessária álgebra.
  • É preciso aplicar corretamente logaritmo de quociente e de potência.
  • A troca X=log r e Y=log f só deve ser feita depois de simplificar.

ANTES DA CONTA

A melhor estratégia é escrever a transformação em quatro passos: modelo original, aplicação do logaritmo, uso da propriedade da potência e substituição de X=log(r) e Y=log(f).

quociente
LOG DO QUOCIENTE log A − log(rB)

primeiro passo

potência
LOG DE POTÊNCIA B · log r

o expoente B passa a multiplicar

X e Y
SUBSTITUIR somente no final

X = log r; Y = log f

O contexto é só embalagem. A resolução depende de duas propriedades: logaritmo do quociente e logaritmo da potência. Aplicando ambas, a lei vira uma relação linear entre X e Y.

DICAS PROGRESSIVAS

ABRA SÓ O QUE PRECISAR

DICA 01

Use log(ab) = log a − log b.

DICA 02

Use log(rB) = B·log r.

DICA 03

Agora substitua log r por X e log f por Y.

RESOLUÇÃO PADRÃO OURO

RESOLUÇÃO PASSO A PASSO

Organize o raciocínio antes da conta.

  1. INTERPRETAR
    A relação dada é f=ArB. Queremos uma equação entre os logaritmos de f e r.
  2. ESTRUTURAR
    Aplicando logaritmo aos dois lados, obtemos log f = log A − log(rB). Aqui foi usada a propriedade do quociente: o logaritmo do denominador aparece subtraindo.
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA
    Use a propriedade da potência: log(rB)=B·log r.
  4. CALCULAR
    Substituindo a potência, fica log f = log A − B·log r. Agora trocamos log f por Y e log r por X, chegando a Y=log A−B·X.
  5. CONFERIR
    É uma reta com coeficiente angular negativo −B, coerente com a frequência diminuir à medida que o ranking aumenta. Alternativa A.

SEGUNDO CAMINHO

SEGUNDO CAMINHO

Reconheça a forma de potência f = A·r−B. Aplicando log diretamente, o expoente −B desce: log f = log A − B log r.

NA PROVA EU FARIA ASSIM

Eu ignoraria o contexto depois de identificar a fórmula. Dois passos: quociente → diferença; potência → expoente multiplicando.

VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.

Esquecer que o denominador produz sinal negativo.

DISTRATOR PRINCIPAL

DISTRATOR PRINCIPAL

As alternativas com divisões por X parecem sofisticadas, mas nenhuma propriedade de logaritmo gera esse tipo de expressão aqui.

COMO RECONHECER UMA PARECIDA?

RECONHEÇA A ESTRUTURA

Linearização por log é recorrente em modelos de potência: y = a·xb vira log y = log a + b·log x.

APRENDIZADO TRANSFERÍVEL

O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

Quando variáveis aparecem em expoentes ou potências, logaritmos frequentemente transformam a relação em uma expressão linear.

ESTRATÉGIA DE TEMPOMeta: 2 minutos. Não calcule nada; aplique propriedades simbólicas.