DOSSIÊ 900+ · ENEM 2024
Financiamento / 100 parcelas
Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.
QUESTÃO OFICIAL
ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.
Uma imobiliária iniciou uma campanha de divulgação para promover a venda de apartamentos que podem ser pagos em 100 parcelas mensais. O valor da primeira delas é fixado no momento da compra, com o pagamento dessa primeira parcela. A partir da segunda parcela, o valor é determinado pela aplicação de um acréscimo percentual fixo ao valor da parcela anterior. Como atrativo, a imobiliária fará o pagamento de todas as parcelas correspondentes ao mês de aniversário do comprador.
Um cliente, que faz aniversário no mês de maio, decidiu comprar um desses apartamentos por meio do financiamento oferecido pela imobiliária e pretende escolher o mês mais adequado para realizar essa compra, de modo que o valor total dos pagamentos seja o menor possível.
Qual é o mês que esse cliente deverá escolher para realizar a compra do apartamento?
Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.
DADOS DO INEP · ENEM 2024 · Q162
- Acerto geral
- 19% de 747 mil no caderno azul
- Quem tira 700
- 26% acerta
- Quem tira 800
- 45% acerta
- Parâmetro b
- 838 valor do Inep
#105 de 588. Microdados do ENEM 2024 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.
APOIO DE CALENDÁRIO
O MELHOR MÊS FAZ MAIO CAIR NA 100ª PARCELA.
As parcelas aumentam com o tempo. Então, entre as compras que geram nove parcelas de maio, vence a que empurra essas parcelas o mais para o fim possível — até fazer a 100ª ser paga pela imobiliária.
MAPA DA QUESTÃO
ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.
O enunciado sugere juros e soma de PG, mas nenhum percentual precisa ser calculado.
Como os valores crescem, o desconto é maior quando a imobiliária assume parcelas mais tardias.
Começar em maio gera nove parcelas de maio, mas elas começam cedo; fevereiro faz a última delas coincidir com a 100ª parcela.
IDENTIFICAÇÃO
A QUESTÃO EM UMA LINHA
- Caderno
- Caderno 7 · Azul
- Questão
- 162
- Gabarito
- A
- Conteúdo
- Matemática financeira · Aritmética modular
- Subconteúdo
- Parcelas crescentes · ciclos de 12 meses · otimização por calendário
DIFICULDADE
ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA
Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.
Também pesa: Crescimento geométrico · ciclo de 12 meses · leitura reversa
POR QUE É DIFÍCIL?
A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA
- O texto fala em acréscimo percentual fixo, o que induz a montar uma progressão geométrica e procurar uma taxa que nem sequer foi informada.
- A quantidade de parcelas exige perceber o ciclo: 100 = 8·12 + 4. Portanto, quatro meses aparecem nove vezes e os outros oito aparecem oito vezes.
- Mesmo depois de perceber que maio deve aparecer nove vezes, ainda falta otimizar: como as parcelas são crescentes, queremos que as nove parcelas gratuitas sejam as mais tardias possível.
ANTES DA CONTA
Antes de pensar em juros, divida o problema pelo calendário. Em 100 meses há 8 anos completos + 4 meses. Assim, os quatro primeiros meses da sequência aparecem 9 vezes. Como o comprador faz aniversário em maio, precisamos colocar maio entre esses quatro — e, entre essas opções, fazê-lo aparecer o mais tarde possível.
o ciclo anual deixa 4 meses extras
parcelas mais tardias valem mais
quando a compra começa em fevereiro
Não calcule os juros. Descubra quais parcelas a imobiliária paga — e coloque a maior delas o mais tarde possível.
DICAS PROGRESSIVAS
ABRA SÓ O QUE PRECISAR
DICA 01
Escreva 100 = 8·12 + 4. Quais meses aparecem nove vezes?
DICA 02
Para maio estar entre os quatro meses que aparecem nove vezes, a compra deve começar até três meses antes de maio.
DICA 03
As parcelas crescem. Então, entre essas opções, escolha o início que faz a última parcela de maio ter o maior número possível.
RESOLUÇÃO PADRÃO OURO
O RESTO DA DIVISÃO POR 12 DECIDE O CALENDÁRIO
A taxa de crescimento não importa. Basta saber que ela é positiva e fixa: as parcelas mais tardias são sempre mais caras.
- INTERPRETARA imobiliária paga todas as parcelas que caem em maio. Como cada parcela é maior que a anterior, minimizar o que o cliente paga equivale a maximizar o valor das parcelas de maio assumidas pela imobiliária.
- ESTRUTURAREm 100 meses temos 100 = 8·12 + 4. Logo, os quatro primeiros meses da sequência aparecem 9 vezes; os demais, 8 vezes. Para maio ser pago 9 vezes, ele precisa estar entre esses quatro primeiros meses.
- ESCOLHER ESTRATÉGIAEntre os inícios possíveis que colocam maio nos quatro primeiros meses, devemos empurrar maio o mais para frente possível, porque isso desloca todas as nove parcelas gratuitas para números maiores — e portanto para valores maiores.
- CALCULARSe a compra começa em fevereiro, temos: parcela 1 = fevereiro, 2 = março, 3 = abril e 4 = maio. Depois, maio reaparece a cada 12 parcelas: 4, 16, 28, 40, 52, 64, 76, 88 e 100. Assim, a própria 100ª parcela, a maior de todas, é paga pela imobiliária.
- CONFERIRComeçar em abril ou maio também faz maio aparecer nove vezes, mas a última parcela de maio ocorre antes da 100ª. Como todas as parcelas aumentam, fevereiro produz o maior desconto total. Alternativa A.
SEGUNDO CAMINHO
PENSE DE TRÁS PARA FRENTE
Há um atalho ainda mais direto: como as parcelas crescem, o cenário ideal é fazer a imobiliária pagar a 100ª parcela. Para que a 100ª caia em maio, volte 99 meses no calendário. Como 99 ≡ 3 (mod 12), a primeira parcela precisa ocorrer três meses antes de maio: fevereiro. Esse raciocínio já garante que maio aparecerá nove vezes nas 100 parcelas.
NA PROVA EU FARIA ASSIM
1. Eu ignoraria a taxa: só preciso saber que a parcela aumenta.
2. Tentaria colocar a 100ª parcela em maio, porque ela é a mais cara e será paga pela imobiliária.
3. Voltando 99 meses: maio → três meses antes → fevereiro. Alternativa A.
VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.
O erro clássico é escolher maio porque parece natural começar no mês do aniversário. Isso garante uma parcela gratuita logo no início, justamente quando ela é pequena. O benefício deve ser deslocado para o fim do financiamento, onde as parcelas são maiores.
DISTRATOR PRINCIPAL
CONFUNDIR O MÊS DO BENEFÍCIO COM O MÊS DA COMPRA
Maio é o distrator mais intuitivo: o aluno associa “mês de aniversário” a “mês da compra”. Mas a promoção não premia a data da compra; ela paga todas as parcelas que caem em maio.
COMO RECONHECER UMA PARECIDA?
CICLO PRIMEIRO, VALORES DEPOIS
Quando um problema mistura parcelas crescentes + calendário + desconto periódico, separe as camadas: primeiro localize os pagamentos favorecidos no ciclo; depois use a monotonicidade para decidir se quer empurrá-los para o início ou para o fim.
APRENDIZADO TRANSFERÍVEL
O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Aritmética modular aparece escondida em calendários, escalas, rodízios, prestações, turnos e eventos periódicos. Se a pergunta envolve “a cada 12 meses”, “a cada k etapas” ou “qual ocorrência coincide com a última”, procure o resto da divisão antes de montar contas longas.