Considere as equações a + b = c^2 e a + b + c = 20. Assinale a alternativa que corresponde à quantidade de triplas ordenadas (a, b, c) que satisfazem simultaneamente essas duas equações, sendo a, b, c números inteiros positivos.
UFPR · 2023
Questão 10 — UFPR 2023
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Troque a + b por c^2 na segunda equação. Sobra uma equação só em c.
Resolução
O que você precisa saber
- Quando duas equações têm a mesma expressão (a + b), substitua uma na outra.
- Inteiro positivo começa em 1: zero não vale.
- Tripla ordenada: (1, 15, 4) e (15, 1, 4) contam como duas.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantos pares ordenados (a, b) de inteiros positivos existem depois de descobrir c.
ESTRUTURAR
• c^2 + c = 20, com c inteiro positivo.
• Depois: a + b = c^2, com a \ge 1 e b \ge 1.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar c e contar as possibilidades de a (o b fica determinado).
A armadilha: contar a = 0 ou b = 0, o que daria 17, ou contar só pares não ordenados, o que daria 8. Nenhum dos dois está entre as alternativas, mas são os erros que fazem a conta sair errada.
CALCULAR
c^2 + c - 20 = 0(c + 5)(c - 4) = 0 \Rightarrow c = 4a + b = 16, \quad a \in \{1, 2, \dots, 15\}São 15 triplas.
CONFERIR
Exemplo: (1, 15, 4): 1 + 15 = 16 = 4^2 e 1 + 15 + 4 = 20. As 15 escolhas de a (de 1 a 15) dão 15 triplas. Alternativa E.
Resposta
15 triplas.
Alternativa correta
E