DOSSIÊ 900+ · ENEM 2021
Receita quadrática
Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.
QUESTÃO OFICIAL
ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.
O administrador de um teatro percebeu que, com o ingresso do evento a R$ 20,00, um show conseguia atrair 200 pessoas e que, a cada R$ 1,00 de redução no preço do ingresso, o número de pessoas aumentava em 40. Os donos do teatro só admitem trabalhar com valores inteiros para os ingressos. O administrador apresentará um gráfico da arrecadação em função do valor do desconto no preço atual do ingresso.
O gráfico que mais se assemelha ao que deve ser elaborado é
Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.
DADOS DO INEP · ENEM 2021 · Q161
- Acerto geral
- 20% de 534 mil no caderno azul
- Quem tira 700
- 38% acerta
- Quem tira 800
- 82% acerta
- Parâmetro b
- 773 valor do Inep
#236 de 588. Microdados do ENEM 2021 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.
APOIO VISUAL
A PARÁBOLA ESTÁ CERTA — MAS ELA NÃO É CONTÍNUA.
O modelo é quadrático. A pegadinha final é lembrar que o preço do ingresso deve ser inteiro, então o desconto também assume valores inteiros.
MAPA DA QUESTÃO
ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.
As alternativas são visualmente parecidas.
A receita é produto de duas expressões lineares, mas o desconto só pode ser inteiro.
A alternativa D tem a forma da parábola, mas ignora a restrição de valores inteiros.
IDENTIFICAÇÃO
A QUESTÃO EM UMA LINHA
- Caderno
- Caderno 7 · Azul
- Questão
- 161
- Gabarito
- E
- Conteúdo
- Função quadrática
- Subconteúdo
- Modelagem de receita · domínio discreto · leitura de gráfico
DIFICULDADE
ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA
Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.
Também pesa: Produto preço × público · parábola · gráfico por pontos
POR QUE É DIFÍCIL?
A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA
- É necessário construir a receita como preço × quantidade, e não analisar preço ou público isoladamente.
- O produto gera uma função quadrática de concavidade negativa.
- Mesmo depois de identificar a parábola correta, ainda é preciso respeitar a restrição de preços inteiros, que transforma o gráfico em pontos isolados.
ANTES DA CONTA
Chame de d o desconto, em reais. Então o ingresso passa a custar 20 − d e o público passa a ser 200 + 40d. A arrecadação é o produto.
d é o desconto em reais
40 pessoas por real
preço inteiro
A questão tem duas decisões, não uma: primeiro identificar a parábola; depois decidir se ela deve ser contínua ou discreta.
DICAS PROGRESSIVAS
ABRA SÓ O QUE PRECISAR
DICA 01
Qual é o preço do ingresso depois de um desconto d?
DICA 02
Qual é o público depois desse mesmo desconto?
DICA 03
O gráfico deve ligar todos os pontos ou apenas os valores inteiros de d são permitidos?
RESOLUÇÃO PADRÃO OURO
RESOLUÇÃO PASSO A PASSO
Organize o raciocínio antes da conta.
- INTERPRETARCom desconto d, o preço fica 20 − d e o número de pessoas fica 200 + 40d.
- ESTRUTURARA arrecadação é R(d)=(20−d)(200+40d).
- ESCOLHER ESTRATÉGIAExpanda apenas para identificar a forma: R(d)=−40d2+600d+4000. Como o coeficiente de d ao quadrado é negativo, o gráfico é uma parábola côncava para baixo.
- CALCULARO vértice ocorre em d = −6002(−40) = 7,5. Isso confirma o arco com máximo perto de 7–8 reais de desconto.
- CONFERIRComo os ingressos só podem ter valores inteiros, d também é inteiro. Além disso, R(7)=13·480=6240 e R(8)=12·520=6240, confirmando o máximo nos dois inteiros vizinhos do vértice d=7,5. Portanto, o gráfico correto é discreto. Alternativa E.
SEGUNDO CAMINHO
SEGUNDO CAMINHO
Sem expandir, observe: preço diminui linearmente e público aumenta linearmente; o produto é quadrático. A arrecadação vale zero quando o preço chega a zero e começa em R$ 4 000 quando d=0. Entre D e E, a restrição de preços inteiros obriga escolher E.
NA PROVA EU FARIA ASSIM
VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.
DISTRATOR PRINCIPAL
DISTRATOR PRINCIPAL
A alternativa D representa corretamente a forma algébrica, mas incorretamente o domínio.
COMO RECONHECER UMA PARECIDA?
RECONHEÇA A ESTRUTURA
Se uma função modela preço, quantidade de itens, pessoas ou parcelas com restrição inteira, verifique se o gráfico deve ser contínuo ou discreto.
APRENDIZADO TRANSFERÍVEL
O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Uma modelagem pode ter expressão correta e gráfico errado se o domínio não for respeitado.