DOSSIÊ 900+ · ENEM 2015

Produto sazonal / cosseno

356 de 588 pelo b do Inep 724 b do Inep
GABARITOD PARÂMETRO Bb 724 (Inep) · #356 CAUSA DOMINANTETradução entre contexto e função

Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.

QUESTÃO OFICIAL

ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.

ENEM 2015 Caderno 6 · Cinza Q143

Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra.

A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela função P(x) = 8 + 5 cos(πx − π6), onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado a janeiro, x = 2 a fevereiro, e assim sucessivamente, até x = 12 associado a dezembro.

Na safra, o mês de produção máxima desse produto é

A
janeiro.
B
abril.
C
junho.
D
julho.
E
outubro.

Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.

DADOS DO INEP · ENEM 2015 · Q143

Acerto geral
17%
de 1.428 mil no caderno azul
Quem tira 700
46%
acerta
Quem tira 800
75%
acerta
Parâmetro b
724
valor do Inep

#356 de 588. Microdados do ENEM 2015 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.

APOIO VISUAL

A PRODUÇÃO É MÁXIMA QUANDO O PREÇO É MÍNIMO.

O texto entrega a ponte conceitual. Depois, basta localizar o mínimo da função cossenoidal.

Gráfico do preço sazonal ao longo dos meses, com mínimo destacado em julho, x igual a 7.
Apoio didático · ENEM 2015 · Q143. Toque ou clique para ampliar.

MAPA DA QUESTÃO

ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.

O QUE PARECE DIFÍCIL Uma função trigonométrica

A presença de π e cosseno faz parecer que será preciso montar um gráfico inteiro.

O QUE REALMENTE DECIDE Preço mínimo

O próprio texto afirma que a produção máxima ocorre quando o produto está mais abundante e o preço é mais baixo.

ONDE SE PERDE TEMPO Procurar o máximo de P

A pergunta é produção máxima, mas a função fornecida descreve preço. É preciso inverter a leitura do contexto.

IDENTIFICAÇÃO

A QUESTÃO EM UMA LINHA

Caderno
Caderno 6 · Cinza
Questão
143
Gabarito
D
Conteúdo
Funções trigonométricas
Subconteúdo
Função cosseno · mínimo de função · interpretação de periodicidade

DIFICULDADE

ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA

PARÂMETRO Bb 724 (Inep) · #356#356 de 588
CAUSA DOMINANTETradução entre contexto e função

Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.

Também pesa: Mínimo do cosseno · argumento angular · mês como variável discreta

POR QUE É DIFÍCIL?

A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA

  • É fácil associar automaticamente a palavra “máxima” ao máximo da função apresentada, mas a função mede preço, não produção.
  • Depois de perceber que se busca o mínimo, ainda é preciso usar cos θ = −1 e resolver o argumento angular.
  • O valor de x precisa voltar ao contexto: x = 7 não é apenas um número, é o mês de julho.

ANTES DA CONTA

Traduza primeiro o contexto: produção máxima → maior abundância → menor preço. Portanto, procure o mínimo de P(x). Como o coeficiente do cosseno é positivo, isso ocorre quando cos(θ) = −1.

produção ↑
CONTEXTO preço ↓

abundância reduz o preço

cos θ
MÍNIMO −1

é o valor extremo necessário

x
MÊS 7

julho

A questão não pede o máximo da função. P(x) é preço: produção máxima acontece no mínimo do preço.

DICAS PROGRESSIVAS

ABRA SÓ O QUE PRECISAR

DICA 01

A função descreve preço, não quantidade produzida. No mês de produção máxima, o preço deve estar alto ou baixo?

DICA 02

Qual é o menor valor possível do cosseno?

DICA 03

Iguale o argumento a π: πx − π6 = π.

RESOLUÇÃO PADRÃO OURO

RESOLUÇÃO PASSO A PASSO

Organize o raciocínio antes da conta.

  1. INTERPRETAR
    O texto diz que, no mês de produção máxima, a oferta é abundante e o preço fica mais baixo. Logo, precisamos do mínimo de P(x).
  2. ESTRUTURAR
    Em P(x)=8+5 cos(θ), o menor valor ocorre quando cos(θ)=-1.
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA
    No intervalo dos meses de 1 a 12, basta usar o primeiro ângulo em que o cosseno vale −1: θ = π.
  4. CALCULAR
    Resolva πx − π6 = π. Então πx − π = 6π, logo πx = 7π e x = 7.
  5. CONFERIR
    Para x = 7, o argumento é π e P(7)=8+5(−1)=3, o menor preço possível. x = 7 corresponde a julho. Alternativa D.

SEGUNDO CAMINHO

SEGUNDO CAMINHO

Reescreva o argumento como π(x − 1)6. O mínimo do cosseno ocorre seis meses após o ponto de máximo inicial: de x = 1 para x = 7. Portanto, julho.

NA PROVA EU FARIA ASSIM

Eu sublinharia duas expressões: “produção máxima” e “preços mais baixos”. Depois escreveria só cos = −1. A questão se reduz a uma equação linear no argumento.

VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.

Procurar o máximo de P(x), encontrar cos = 1 e marcar janeiro. Isso responde ao mês de maior preço, não ao de maior produção.

DISTRATOR PRINCIPAL

DISTRATOR PRINCIPAL

Janeiro é o distrator natural para quem vê “máxima” e maximiza diretamente a função de preço.

COMO RECONHECER UMA PARECIDA?

RECONHEÇA A ESTRUTURA

Quando a função modela uma grandeza diferente da que a pergunta pede, traduza primeiro a relação entre as duas grandezas antes de procurar máximos ou mínimos.

APRENDIZADO TRANSFERÍVEL

O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

Em funções trigonométricas aplicadas, quase sempre o trabalho principal é identificar qual extremo do seno/cosseno corresponde ao contexto.

ESTRATÉGIA DE TEMPOMeta de prova: 2–3 minutos. Não desenhe o gráfico completo: contexto → mínimo → cos = −1 → x = 7.