DOSSIÊ 900+ · ENEM 2023

Formação de senhas

167 de 588 pelo b do Inep 809 b do Inep
GABARITOA PARÂMETRO Bb 809 (Inep) · #167 CAUSA DOMINANTEContraintuição combinatória

Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.

QUESTÃO OFICIAL

ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.

ENEM 2023 Caderno 7 · Azul Q160

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, um usuário deve criar uma senha usando somente: 10 algarismos, 26 letras minúsculas, 26 letras maiúsculas e 6 caracteres especiais.

Tipo I: quatro caracteres distintos quaisquer. Tipo II: cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, depois um algarismo e um caractere especial. Tipo III: seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, depois dois algarismos e dois caracteres especiais.

Se p₁, p₂ e p₃ são as probabilidades de descobrir ao acaso, na primeira tentativa, uma senha de cada tipo, o tipo que apresenta a menor probabilidade é o

A
tipo I, pois p₁ < p₂ < p₃.
B
tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
C
tipo II, pois tem maior quantidade de letras.
D
tipo III, pois p₃ < p₂ < p₁.
E
tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.

DADOS DO INEP · ENEM 2023 · Q160

Acerto geral
21%
de 664 mil no caderno azul
Quem tira 700
28%
acerta
Quem tira 800
59%
acerta
Parâmetro b
809
valor do Inep

#167 de 588. Microdados do ENEM 2023 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.

APOIO VISUAL

A SENHA MAIS LONGA NÃO É NECESSARIAMENTE A MAIS SEGURA.

Compare o número total de senhas possíveis de cada estrutura. A probabilidade de acertar uma senha específica é o inverso desse total.

Comparação dos totais de senhas dos tipos I, II e III, mostrando que o tipo I tem mais possibilidades.
Apoio didático · ENEM 2023 · Q160. Toque ou clique para ampliar.

MAPA DA QUESTÃO

ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.

O QUE PARECE ÓBVIO Senha maior = mais segura

Essa intuição é justamente a armadilha do item.

O QUE REALMENTE DECIDE Número de senhas possíveis

Menor chance de acerto corresponde ao maior espaço amostral.

ONDE SE PERDE A QUESTÃO Ignorar as restrições

Os tipos II e III têm mais posições, mas muito menos liberdade em cada posição.

IDENTIFICAÇÃO

A QUESTÃO EM UMA LINHA

Caderno
Caderno 7 · Azul
Questão
160
Gabarito
A
Conteúdo
Probabilidade e análise combinatória
Subconteúdo
Princípio Fundamental da Contagem · arranjos sem repetição · comparação de probabilidades

DIFICULDADE

ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA

PARÂMETRO Bb 809 (Inep) · #167#167 de 588
CAUSA DOMINANTEContraintuição combinatória

Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.

Também pesa: Espaços amostrais · caracteres distintos · probabilidade inversa

POR QUE É DIFÍCIL?

A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA

  • A intuição favorece o tipo III por ter seis caracteres, mas suas posições são fortemente restritas por categoria.
  • Os caracteres devem ser distintos, então o número de opções diminui a cada escolha dentro da mesma categoria.
  • Depois de contar, ainda é preciso inverter a comparação: maior número de senhas significa menor probabilidade de acerto.

ANTES DA CONTA

Primeiro compare os espaços amostrais N₁, N₂, N₃. Só depois use p = 1/N: quanto maior N, menor a probabilidade de acerto.

68
CARACTERES 10 algarismos + 52 letras + 6 especiais

52 = 26 minúsculas + 26 maiúsculas

N
ESPAÇO AMOSTRAL quanto maior, melhor

p = 1/N

distintos
SEM REPETIÇÃO opções diminuem

68, 67, 66, 65...

Não compare o comprimento das senhas. Compare os espaços amostrais. Mais liberdade por posição pode superar uma senha mais longa e mais restrita.

DICAS PROGRESSIVAS

ABRA SÓ O QUE PRECISAR

DICA 01

Quantos caracteres estão disponíveis ao todo para o tipo I?

DICA 02

No tipo II, as três primeiras posições são letras distintas: 52, depois 51, depois 50 opções.

DICA 03

Depois de obter N₁, N₂ e N₃, lembre que a probabilidade é inversamente proporcional a N.

RESOLUÇÃO PADRÃO OURO

RESOLUÇÃO PASSO A PASSO

Organize o raciocínio antes da conta.

  1. INTERPRETAR
    Para descobrir uma senha específica ao acaso, a probabilidade é 1/N, em que N é o número de senhas possíveis daquela estrutura.
  2. ESTRUTURAR
    Tipo I: N₁=68·67·66·65. Tipo II: N₂=52·51·50·10·6. Tipo III: N₃=52·51·10·9·6·5.
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA
    Não é necessário calcular probabilidades decimais. Basta comparar os três espaços amostrais.
  4. CALCULAR
    Temos N₁=19 545 240, N₂=7 956 000 e N₃=7 160 400. Logo, N₁>N₂>N₃.
  5. CONFERIR
    Como p=1/N, a ordem se inverte: p₁<p₂<p₃. Portanto, a menor probabilidade é a do tipo I. Alternativa A.

SEGUNDO CAMINHO

SEGUNDO CAMINHO

Compare sem desenvolver tudo: depois de cancelar os fatores comuns de N₂ e N₃, sobra comparar 50 com 9·5=45; portanto, N₂>N₃. Para N₁ e N₂, uma estimativa já mostra que quatro fatores próximos de 65 produzem cerca de 18 milhões, enquanto 52·51·50·60 fica perto de 8 milhões. Assim, N₁ é o maior.

NA PROVA EU FARIA ASSIM

Eu escreveria só os três produtos e compararia N. Não calcularia p₁, p₂ e p₃.

VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.

Escolher tipo III apenas porque tem mais caracteres.

DISTRATOR PRINCIPAL

DISTRATOR PRINCIPAL

A alternativa D transforma “senha mais longa” em conclusão automática, ignorando as restrições de categoria.

COMO RECONHECER UMA PARECIDA?

RECONHEÇA A ESTRUTURA

Em segurança por tentativa aleatória, o que importa é o tamanho do espaço de possibilidades, não apenas o comprimento da senha.

APRENDIZADO TRANSFERÍVEL

O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

Quando p=1/N, compare N primeiro. Isso evita frações enormes e reduz a chance de inverter a desigualdade.

ESTRATÉGIA DE TEMPOMeta: 3–4 minutos. Monte N₁, N₂ e N₃; compare; inverta a ordem para as probabilidades.