Quebre a decisão.
Identifique cada momento em que uma escolha precisa ser feita.
CONTAGEM • PRINCÍPIO FUNDAMENTAL
Antes de multiplicar,
Antes de multiplicar,
descubra o que acontece em cada etapa.
O Princípio Fundamental da Contagem não é uma regra para multiplicar números do enunciado. Ele conta caminhos completos formados por escolhas sucessivas.
Uma possibilidade completa é construída etapa por etapa.
Se cada escolha de uma etapa pode ser seguida por todas as escolhas válidas da etapa seguinte, os números de opções se multiplicam.
Conte apenas escolhas válidas.
Não use o total bruto quando alguma condição elimina possibilidades.
Construa caminhos completos.
Cada resultado combina uma escolha de cada etapa.
Multiplique quando as etapas se encadeiam.
\[N=n_1n_2\cdots n_k\]
ADIÇÃO × MULTIPLICAÇÃO
Somar casos e combinar etapas são problemas diferentes.
somar → casos incompatíveis que resolvem a pergunta por caminhos alternativos;
multiplicar → escolhas sucessivas necessárias para formar um único resultado completo;
cuidado → a palavra “ou” sozinha não garante soma se os casos podem se sobrepor.
A OPERAÇÃO VEM DA ESTRUTURA DOS CASOS.
Quando uma escolha muda as próximas, a contagem também muda.
O PFC continua funcionando; o que muda é o número de opções válidas em cada etapa.
O número de opções pode permanecer igual.
Se uma escolha pode ser usada novamente, ela não precisa sair do conjunto disponível.
As opções diminuem.
Depois de usar uma possibilidade, ela deixa de estar disponível nas etapas seguintes.
Nem toda etapa tem as mesmas regras.
O primeiro algarismo de um número, por exemplo, pode ter restrições diferentes dos demais.
Às vezes é melhor separar e somar.
Se uma condição cria estruturas diferentes, conte cada caso corretamente e só então reúna os resultados.
EXEMPLO GUIADO01 02 03 04 05
Restrição muda a quantidade de escolhas — não o raciocínio.
Uma senha usa três algarismos distintos escolhidos entre 0 e 9. Quantas senhas podem ser formadas?
INTERPRETAR
A senha tem três posições e não permite repetição.
Cada posição é uma etapa.
ESTRUTURAR
As opções diminuem a cada escolha.
Primeira posição: 10 opções. Segunda: 9. Terceira: 8.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
As etapas são sucessivas: use o produto.
Não precisamos de uma fórmula específica de permutação.
CALCULAR
\[10\cdot9\cdot8=720\]
Existem 720 senhas possíveis.
CONFERIR
A contagem respeita a restrição.
Depois de cada escolha, um algarismo deixa de estar disponível.
ERROS QUE DERRUBAM QUESTÃO
Não multiplique antes de organizar as escolhas.
A maior parte dos erros de contagem nasce antes da conta.
Multiplicar todos os números que aparecem.
Primeiro identifique o que cada número representa no experimento.
Ignorar uma restrição.
Sem repetição, posições proibidas e condições especiais alteram as opções válidas.
Somar quando as etapas precisam acontecer juntas.
Uma escolha seguida de outra constrói um resultado completo.
Usar uma fórmula combinatória antes de entender a ordem.
O PFC muitas vezes resolve o problema sem nomear arranjo ou combinação.
Agora reconheça etapas e restrições em prova.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEMTreine a leitura da estrutura.
Treinar no BancoUse o Banco para encontrar problemas de contagem e compare cada resolução com a sequência: etapas, opções, restrições e produto.
ROTA DE CONTAGEM
Se você consegue organizar as escolhas, as fórmulas futuras deixam de parecer uma lista.
O PFC é a base para avançar depois para permutações, arranjos, combinações e probabilidade.