Questão 149 ENEM 3a aplicação 2014: Geometria espacial (resolvida)

Muitas pessoas, de modo descuidado, armazenam em caixas plásticas restos de alimentos em locais não apropriados, criando condições para o aparecimento de formigas e roedores. Suponha que uma formiga, localizada no vértice J de uma caixa plástica que ficou destampada, avista um torrão de açúcar no vértice P da caixa, conforme ilustra a figura seguinte. Caminhando sobre a superfície da caixa (arestas e lados) ela poderá seguir várias trajetórias até ele:

Observação: Considere que R é o ponto médio da aresta NQ.

Para que o caminho percorrido pela formiga tenha o menor comprimento possível, ela deve seguir o caminho

(A)

Alternativa A: segmento tracejado de J direto até P, atravessando o interior da caixa.

(B)

Alternativa B: caminho tracejado de J até N, pela aresta, e de N até P pela diagonal da face de baixo.

(C)

Alternativa C: caminho de J até N, de N até O e de O até P, só pelas arestas.

(D)

Alternativa D: caminho de J até O pela diagonal da face da esquerda e de O até P pela aresta.

(E)

Alternativa E: caminho de J até R, pela face de trás, e de R até P, pela face de baixo.

Resolução

O que você precisa saber

O menor caminho sobre a superfície de um sólido é encontrado planificando as faces e ligando os pontos por um segmento de reta.
Um caminho que segue arestas é mais longo do que o segmento que corta a face.

Figura de apoio

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: qual trajetória sobre a superfície liga J a P com o menor comprimento.

ESTRUTURAR

J fica no alto da face de trás JMQN; P fica num canto da face de baixo NQPO.
As duas faces têm em comum a aresta NQ, e R é o seu ponto médio.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Descartar o caminho que passa por dentro da caixa e, entre os da superfície, comparar com a planificação.

A armadilha: escolher o segmento JP (alternativa A), que é o mais curto de todos, mas atravessa o interior da caixa; a formiga só pode andar na superfície. Os caminhos B, C e D seguem arestas em parte e por isso são mais longos.

CALCULAR

Abrindo a face de trás JMQN sobre a face de baixo NQPO, J e P ficam no mesmo plano.

O caminho mais curto é o segmento de J até P nessa planificação, que cruza a aresta NQ.

Com as proporções da figura, esse segmento cruza NQ no meio, em R.

Por exemplo, com aresta NQ = 2, altura 1 e profundidade 1:

\text{E: } 2\sqrt{1^2 + 1^2} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\text{D: } \sqrt{2} + 2 \approx 3{,}41\text{B: } 1 + \sqrt{5} \approx 3{,}24\text{C: } 1 + 1 + 2 = 4

CONFERIR

Na planificação, o segmento de J (0, 1) até P (2, −1) cruza a aresta NQ (eixo horizontal) em x = 1, o ponto médio ✓. O ponto R só é o ponto médio do menor caminho quando a altura da caixa é igual à profundidade, como sugere a figura.

Resposta

A formiga deve ir de J até R, o ponto médio de NQ, e de R até P.

Alternativa correta E