Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Seja f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} uma função com a propriedade de que x^3 < f(x) < x^2 para todo 0 < x < 1.
Considere o triângulo de vértices P = (0, 0), Q = \left(\frac{1}{2}, f\left(\frac{1}{2}\right)\right) e R = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).
A respeito da área A desse triângulo, é correto afirmar que
Q e R estão na mesma vertical x = \frac{1}{2}. Use QR como base: a altura relativa a ela é a distância de P a essa vertical.
O que a questão quer de verdade: entre que valores fica a área, sabendo só que \frac{1}{8} < f\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{1}{4}.
• Base: QR = \frac{1}{2} - f\left(\frac{1}{2}\right) (pois f\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{1}{4} < \frac{1}{2}).
• Altura: \frac{1}{2}.
• A = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} - f\left(\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2} - f\left(\frac{1}{2}\right)\right).
Levar as desigualdades de f\left(\frac{1}{2}\right) até A, cuidando da inversão de sinal.
A armadilha: usar como base f\left(\frac{1}{2}\right) em vez de \frac{1}{2} - f\left(\frac{1}{2}\right), o que leva a C ou A.
\frac{1}{8} < f\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{1}{4}
\frac{1}{4} < \frac{1}{2} - f\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{3}{8}
\frac{1}{16} < A < \frac{3}{32}
Exemplo: f(x) = x^{2{,}5} satisfaz x^3 < f(x) < x^2. f\left(\frac{1}{2}\right) \approx 0{,}177, A \approx \frac{1}{4} \cdot 0{,}323 \approx 0{,}081, entre 0{,}0625 e 0{,}094. Alternativa D.
\frac{1}{16} < A < \frac{3}{32}.
