Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
A figura a seguir, que também apareceu no Vestibular Unicamp 1987, exibe uma circunferência de centro O e raio r. Considere que o segmento BC mede r e o ângulo A\hat{B}O mede 15 graus. Os pontos P, A, C estão na circunferência, e os pontos P, O, B e A, C, B são colineares.
Se r = 1, determine o comprimento do segmento AP.
Trace OC. Como OC = BC = r, o triângulo OCB é isósceles. Siga os ângulos até achar A\hat{O}P.
O que a questão quer de verdade: a corda AP, que depende do ângulo central A\hat{O}P.
• OC = BC = 1: no triângulo OCB, C\hat{O}B = C\hat{B}O = 15°.
• Ângulo externo em C: O\hat{C}A = 15° + 15° = 30°.
• OA = OC: no triângulo OAC, O\hat{A}C = 30°.
• No triângulo AOB: A\hat{O}B = 180° - 30° - 15° = 135°.
• A\hat{O}P = 180° - 135° = 45°.
Lei dos cossenos no triângulo AOP, com OA = OP = 1 e ângulo de 45°.
A armadilha: usar o ângulo de 135° (A\hat{O}B) no lugar de 45°, o que dá \sqrt{2 + \sqrt{2}} (alternativa B), que é a distância de A até a outra ponta do diâmetro.
AP^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos 45°
AP^2 = 2 - \sqrt{2}
AP = \sqrt{2 - \sqrt{2}}.
AP \approx \sqrt{0{,}586} \approx 0{,}77, menor que o raio vezes \sqrt{2}, o que combina com um ângulo central de 45° (menor que 90°). Alternativa A.
AP = \sqrt{2 - \sqrt{2}}.
