Para praticar seus conceitos de aritmética, Lúcio sorteia, sem reposição, duas bolinhas de uma urna com bolinhas numeradas de 1 até 100 e calcula o máximo divisor comum dos números sorteados. Qual a probabilidade do máximo divisor comum ser um número ímpar?
Unicamp · 2027
Questão 24 — Unicamp 2027
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O MDC é par exatamente quando os dois números são pares. Calcule essa probabilidade e use o complementar.
Resolução
O que você precisa saber
- Se os dois números são pares, 2 divide os dois; se um deles é ímpar, o MDC é ímpar.
- Sorteio sem reposição: a segunda probabilidade muda.
- P(A) = 1 − P(não A).
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: P(\text{MDC ímpar}) = 1 - P(\text{os dois pares}).
ESTRUTURAR
Há 50 pares entre 1 e 100.
P(\text{dois pares}) = \frac{50}{100} \cdot \frac{49}{99}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar o complementar.
A armadilha: tratar o sorteio como com reposição (\frac{1}{4} para os dois pares, o que daria \frac{3}{4}, fora das alternativas) ou achar que o MDC é ímpar com probabilidade \frac{1}{2}.
CALCULAR
P(\text{dois pares}) = \frac{50 \cdot 49}{100 \cdot 99} = \frac{49}{198}.
P(\text{MDC ímpar}) = 1 - \frac{49}{198} = \frac{149}{198}.
CONFERIR
\frac{149}{198} \approx 0{,}75, pouco acima de \frac{3}{4} porque sem reposição é um pouco mais difícil tirar dois pares. Alternativa D.
Resposta
\frac{149}{198}.
Alternativa correta
D