Seja p(x) = x^3 + bx^2 + cx + 8, com b e c números reais.
Sabendo que todas as soluções de p(x) = 0 são inteiras, o maior valor possível para b é
Unicamp · 2027
Questão 18 — Unicamp 2027
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O produto das raízes é -8 e a soma é -b. Para b ser máximo, a soma das raízes tem de ser a menor possível.
Resolução
O que você precisa saber
- Girard para x³ + bx² + cx + d: soma das raízes = −b; produto = −d.
- Raízes podem se repetir.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: três inteiros com produto -8 e a menor soma possível.
ESTRUTURAR
r_1 r_2 r_3 = -8 e b = -(r_1 + r_2 + r_3).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Listar os ternos de inteiros com produto -8 e procurar a soma mais negativa.
A armadilha: esquecer que raízes podem se repetir e não testar (-1, -1, -8).
CALCULAR
Alguns ternos e suas somas:
• (1, 1, -8): -6;
• (-2, -2, -2): -6;
• (-1, -2, -4): -7;
• (-1, -1, -8): -10.
A menor soma é -10, então b = 10.
CONFERIR
p(x) = (x + 1)^2(x + 8) = x^3 + 10x^2 + 17x + 8. O termo independente é 8, como pedido. Alternativa C.
Resposta
10.
Alternativa correta
C