Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Considere a matriz A(x) dada por
A(x) = \begin{pmatrix} 2 - x & 1 & -3 \\ -7 & -3 - x & 9 \\ 0 & 3 & 1 - x \end{pmatrix},em que x é um número real. Você que é fã do Vestibular Unicamp deve se lembrar dela: foi assunto da questão 7 da prova de matemática da segunda fase do Vestibular Unicamp de 1987.
A opção que melhor representa o gráfico de y = \det(A(x)) é
Cada termo do determinante tem no máximo um fator com x de cada linha: o resultado é um polinômio de grau 3. Olhe o sinal de x^3 e o valor em x = 0.
O que a questão quer de verdade: a forma do gráfico de \det(A(x)): grau, sinal do termo líder e posição dos extremos.
Desenvolvendo pela 1ª coluna:
\det A(x) = (2 - x) \cdot M_{11} + 7 \cdot M_{21}M_{11} = (-3 - x)(1 - x) - 27M_{21} = 1 \cdot (1 - x) - (-3) \cdot 3Calcular o polinômio, depois o valor em 0 e os pontos de máximo e mínimo.
A armadilha: achar que a matriz 3 × 3 gera um polinômio de grau 4 (gráficos c e d) ou não conferir o sinal do termo em x^3.
(-3 - x)(1 - x) - 27 = x^2 + 2x - 30.
(2 - x)(x^2 + 2x - 30) = -x^3 + 34x - 60.
7\big[(1 - x) + 9\big] = 70 - 7x.
\det A(x) = -x^3 + 27x + 10.
Em x = 0: y = 10 > 0.
y' = -3x^2 + 27 = 0 \Rightarrow x = \pm 3: mínimo y(-3) = -44 e máximo y(3) = 64.
Cúbica com x^3 negativo: vem de cima, desce até um mínimo negativo à esquerda do eixo y, corta o eixo y em 10, sobe até um máximo à direita e desce. É o gráfico b.
O gráfico b.
