Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
A figura a seguir mostra um quadrado ABCD de lado medindo x. O ponto médio do lado AB está representado por M. Os pontos P e Q, pertencentes ao lado CD, são tais que PD = QC. O ângulo PMQ, representado por \theta na figura, é tal que \cos(\theta) = \frac{2}{3}.
A área do triângulo PMQ é
O triângulo é isósceles com altura x. A altura divide \theta ao meio: ache \tan\frac{\theta}{2} a partir de \cos\theta.
O que a questão quer de verdade: a base PQ, já que a altura do triângulo é o lado x do quadrado.
Como PD = QC, o triângulo PMQ é isósceles e a altura de M até CD mede x. Ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos com ângulo \frac{\theta}{2} em M, cateto adjacente x e cateto oposto \frac{PQ}{2}.
Calcular \tan\frac{\theta}{2} pelas fórmulas do arco metade.
A armadilha: escolher a alternativa D, que é a área do triângulo equilátero de lado x. Para isso, \cos\theta teria de ser \frac{1}{2}, e a altura não seria x.
\operatorname{sen}^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2} = \frac{1}{6} e \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2} = \frac{5}{6}.
\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{1/6}{5/6} = \frac{1}{5} \Rightarrow \tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}}.
\frac{PQ}{2} = x \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}, então PQ = \frac{2x}{\sqrt{5}}.
\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\sqrt{5}} \cdot x = \frac{x^2}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}\,x^2}{5}Pela lei dos cossenos: MP^2 = x^2 + \frac{x^2}{5} = \frac{6x^2}{5} e PQ^2 = 2 \cdot \frac{6x^2}{5} - 2 \cdot \frac{6x^2}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4x^2}{5}. Confere com PQ = \frac{2x}{\sqrt{5}}. Alternativa A.
\frac{\sqrt{5}\,x^2}{5}.
