Sobre dois polinômios p(x) e q(x) de coeficientes reais sabe-se que:
• p(x) + q(x) tem grau igual a 3.
• p(x) \cdot q(x) tem grau igual a 8.
É correto afirmar que o grau de p(x) - q(x) é igual a
Unicamp · 2026
Questão 45 — Unicamp 2026
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O grau do produto é a soma dos graus. E a soma só pode ter grau menor que o maior dos graus se os termos de maior grau se cancelarem.
Resolução
O que você precisa saber
- gr(p · q) = gr(p) + gr(q).
- gr(p + q) ≤ maior grau entre p e q; fica menor só quando os termos de maior grau se cancelam.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: descobrir os graus de p e q e o que acontece com os termos de maior grau.
ESTRUTURAR
Sejam n e m os graus de p e q. Do produto: n + m = 8.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Separar em dois casos: graus diferentes ou graus iguais.
A armadilha: achar que o grau da diferença é igual ao grau da soma (3). Quando os termos de maior grau se cancelam na soma, eles se somam na diferença.
CALCULAR
Se n \ne m, a soma teria o grau do maior deles. Como n + m = 8, o maior seria pelo menos 5, e não 3. Impossível.
Então n = m = 4. Para a soma ter grau 3, os termos de grau 4 se cancelam: p tem c\,x^4 e q tem -c\,x^4, com c \ne 0.
Na diferença: c\,x^4 - (-c\,x^4) = 2c\,x^4 \ne 0. O grau de p - q é 4.
CONFERIR
Exemplo: p = x^4 + x^3 e q = -x^4 + 1. Soma: x^3 + 1, grau 3. Produto: grau 8. Diferença: 2x^4 + x^3 - 1, grau 4. Alternativa B.
Resposta
O grau de p(x) - q(x) é 4.
Alternativa correta
B