Ana está treinando as habilidades matemáticas de seu irmão mais novo. Ela escolheu dois números reais x, y e avisou para seu irmão que os números satisfazem às desigualdades |x - 2| \le 2 e |y - 3| \le 1. O que o irmão de Ana pode concluir corretamente sobre esses números?
Unicamp · 2025
Questão 52 — Unicamp 2025
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Transforme cada módulo em um intervalo. Depois veja o maior e o menor valor possível de x + y e de x^2 + y^2.
Resolução
O que você precisa saber
- |x − c| ≤ r ⟺ c − r ≤ x ≤ c + r.
- Somar desigualdades de mesmo sentido mantém o sentido.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: qual frase vale para todos os pares (x, y) permitidos.
ESTRUTURAR
|x - 2| \le 2 \Rightarrow 0 \le x \le 4.
|y - 3| \le 1 \Rightarrow 2 \le y \le 4.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular os extremos de cada expressão.
A armadilha: testar só um par, como (2, 3), e marcar a primeira alternativa que funcione para ele. A frase precisa valer para qualquer par permitido.
CALCULAR
x + y: entre 0 + 2 = 2 e 4 + 4 = 8. Então x + y \le 8 sempre. C é verdadeira e B é falsa.
x^2 + y^2: entre 0 + 4 = 4 e 16 + 16 = 32. Então A (\le 1) e D (\ge 36) são falsas.
CONFERIR
O par (4, 4) é permitido e dá x + y = 8, o caso limite de C. Alternativa C.
Resposta
x + y \le 8.
Alternativa correta
C