No losango abaixo, qual é a medida do comprimento do segmento BE?
Unicamp · 2024
Questão 65 — Unicamp 2024
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Primeiro ache o lado do losango usando DF = 3. Com o lado, você conhece AE e AB, e o ângulo de 60° entre eles.
Resolução
O que você precisa saber
- Losango: quatro lados iguais; ângulos vizinhos somam 180°.
- Lei dos cossenos: a² = b² + c² − 2bc · cos α.
- cos 60° = 1/2 e cos 120° = −1/2.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o lado do losango e, com ele, o triângulo ABE.
ESTRUTURAR
O ângulo em D mede 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ. Com D na origem e DC no eixo horizontal, B fica na vertical de F, e F é a projeção de B sobre a reta DC.
Se o lado é \ell, o ponto A está \frac{\ell}{2} à esquerda de D (pelo ângulo de 120°), e B está \ell à direita de A. Então DF = \ell - \frac{\ell}{2} = \frac{\ell}{2}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
De DF = 3 tirar o lado; depois lei dos cossenos no triângulo ABE.
A armadilha: achar que DF é o lado inteiro, ou usar \cos 120^\circ no triângulo ABE, cujo ângulo em A é 60°.
CALCULAR
\frac{\ell}{2} = 3 \Rightarrow \ell = 6. Então AB = 6 e AE = 6 - 2 = 4.
No triângulo ABE, com ângulo de 60° em A:
BE^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 36 + 16 - 24 = 28.
BE = \sqrt{28}.
CONFERIR
Em coordenadas: D = (0, 0), B = (3, 3\sqrt{3}), E = (-1, \sqrt{3}). BE^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 = 16 + 12 = 28. Mesmo resultado. Alternativa C.
Resposta
BE = \sqrt{28}.
Alternativa correta
C