Para qual valor de x o sistema de equações lineares
\begin{cases} ax - y = |a|, \\ (4 - 5a^2)x + ay = 1 \end{cases}admite infinitas soluções?
Unicamp · 2023
Questão 53 — Unicamp 2023
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Isole y na primeira equação e substitua na segunda. O sistema tem infinitas soluções quando sobra "0 = 0".
Resolução
O que você precisa saber
- Equação kx = m tem infinitas soluções só se k = 0 e m = 0.
- |a| = a se a ≥ 0 e |a| = −a se a < 0.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de a que deixa o sistema possível e indeterminado.
Atenção: o enunciado oficial pergunta "para qual valor de x", mas as alternativas se referem ao parâmetro a do sistema. A resolução procura o valor de a.
ESTRUTURAR
Primeira equação: y = ax - |a|.
Na segunda: (4 - 5a^2)x + a(ax - |a|) = 1 \Rightarrow (4 - 4a^2)x = 1 + a|a|.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Exigir coeficiente zero e lado direito zero ao mesmo tempo.
A armadilha: parar em 4 - 4a^2 = 0 e marcar a = 1. Com a = 1 o lado direito vale 2, e o sistema fica impossível (é a alternativa A, a segunda mais marcada).
CALCULAR
4 - 4a^2 = 0 \Rightarrow a = 1 ou a = -1.
a = 1: 1 + 1 \cdot 1 = 2 \ne 0. Fica 0 = 2: impossível.
a = -1: 1 + (-1) \cdot 1 = 0. Fica 0 = 0: infinitas soluções.
CONFERIR
Com a = -1: -x - y = 1 e -x - y = 1 (pois 4 - 5 = -1). As duas equações são a mesma reta. Alternativa C.
Resposta
a = -1.
Alternativa correta
C