A figura seguinte mostra um triângulo retângulo ABC. O ponto M é o ponto médio do lado AB, que é a hipotenusa.
O valor de \operatorname{sen}\alpha é
Unicamp · 2023
Questão 54 — Unicamp 2023
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
No triângulo retângulo, a mediana da hipotenusa mede metade dela. Então AB = 10, e MA = MB = MC = 5.
Resolução
O que você precisa saber
- Mediana relativa à hipotenusa = metade da hipotenusa.
- Ângulo externo de um triângulo = soma dos dois internos não adjacentes.
- sen 2θ = 2 sen θ cos θ.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o seno do ângulo \alpha = C\hat{M}B.
ESTRUTURAR
AB = 10 e, por Pitágoras, BC = \sqrt{100 - 36} = 8.
O triângulo AMC é isósceles (MA = MC = 5), então M\hat{C}A = \hat{A}. O ângulo \alpha é externo a esse triângulo: \alpha = 2\hat{A}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular \operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen} 2A = 2\operatorname{sen} A\cos A.
A armadilha: tratar CM como altura (perpendicular a AB) e concluir \alpha = 90^\circ. Na figura, CM é mediana e não é perpendicular.
CALCULAR
\operatorname{sen} A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{10} e \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10}.
\operatorname{sen}\alpha = 2 \cdot \frac{8}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{96}{100} = \frac{24}{25}.
CONFERIR
Pela lei dos senos no triângulo CMB: \frac{CM}{\operatorname{sen} B} = \frac{CB}{\operatorname{sen}\alpha}, com \operatorname{sen} B = \frac{6}{10}: \frac{5}{3/5} = \frac{8}{\operatorname{sen}\alpha} \Rightarrow \operatorname{sen}\alpha = \frac{24}{25}. Mesmo valor. Alternativa A.
Resposta
\operatorname{sen}\alpha = \frac{24}{25}.
Alternativa correta
A