A parábola y = -x^2 + bx + c intercepta o eixo x nos pontos (p, 0) e (q, 0). Sabe-se que ela intercepta uma única vez cada uma das retas dadas pelas equações y = 2x + 1 e y = 1 - \frac{x}{2}. O valor de p + q é:
Unicamp · 2022
Questão 22 — Unicamp 2022
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
p + q é a soma das raízes, que vale b. "Intercepta uma única vez" significa discriminante zero na equação da interseção.
Resolução
O que você precisa saber
- Soma das raízes de −x² + bx + c: −b/(−1) = b.
- Uma reta (não vertical) e uma parábola se cortam uma única vez quando Δ = 0.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de b, usando as duas tangências.
ESTRUTURAR
Com y = 2x + 1: -x^2 + bx + c = 2x + 1 \Rightarrow x^2 + (2 - b)x + 1 - c = 0. \Delta_1 = (2 - b)^2 - 4(1 - c) = 0.
Com y = 1 - \frac{x}{2}: x^2 - \left(b + \frac{1}{2}\right)x + 1 - c = 0. \Delta_2 = \left(b + \frac{1}{2}\right)^2 - 4(1 - c) = 0.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Subtrair os dois discriminantes: o termo 4(1 - c) se cancela e sobra uma equação só em b.
A armadilha: tentar achar p e q separadamente, o que exige c e mais contas.
CALCULAR
\Delta_1 - \Delta_2 = 0 \Rightarrow (2 - b)^2 = \left(b + \frac{1}{2}\right)^2.
2 - b = b + \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{3}{4}, ou 2 - b = -b - \frac{1}{2}, que é impossível.
p + q = b = \frac{3}{4}.
CONFERIR
Com b = \frac{3}{4}: \left(\frac{5}{4}\right)^2 = 4(1 - c) \Rightarrow c = 1 - \frac{25}{64} = \frac{39}{64}. A parábola -x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{39}{64} tem \Delta > 0, então corta o eixo x em dois pontos, como o enunciado diz. Alternativa B.
Resposta
p + q = \frac{3}{4}.
Alternativa correta
B