Considere a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 3 & k^2 \end{pmatrix}e seja B = A + A^T, onde A^T é a transposta da matriz A.
Sobre o sistema
B\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2021 \\ 2022 \end{pmatrix}é correto afirmar que:
Unicamp · 2022
Questão 20 — Unicamp 2022
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Monte B somando A com sua transposta. Depois veja para quais k o determinante de B se anula, e teste esses valores.
Resolução
O que você precisa saber
- Transposta: linhas viram colunas.
- det ≠ 0: solução única. det = 0: nenhuma ou infinitas soluções, conforme as equações.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: classificar o sistema para k = 0, k = -1 e k = 3.
ESTRUTURAR
B = \begin{pmatrix} 2 & k + 3 \\ k + 3 & 2k^2 \end{pmatrix}\det B = 4k^2 - (k + 3)^2 = 3k^2 - 6k - 9 = 3(k + 1)(k - 3).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Para k = 0 o determinante não é zero. Para k = -1 e k = 3, escrever as equações e comparar.
A armadilha: concluir "infinitas soluções" só porque o determinante é zero. Com det = 0, é preciso olhar os lados direitos.
CALCULAR
k = 0: \det B = -9 \ne 0, solução única. A é falsa.
k = -1: B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}. Equações: 2x + 2y = 2021 e 2x + 2y = 2022. Contradição: não tem solução. C é verdadeira e B é falsa.
k = 3: B = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 18 \end{pmatrix}. A segunda linha é 3 vezes a primeira, mas 3 \cdot 2021 = 6063 \ne 2022. Também não tem solução. D é falsa.
CONFERIR
Com k = -1, a mesma expressão 2x + 2y teria de valer 2021 e 2022 ao mesmo tempo. Impossível. Alternativa C.
Resposta
Se k = -1, o sistema não tem solução.
Alternativa correta
C