Um círculo está inscrito em um quadrilátero ABCD. Seja T o ponto de tangência do lado DA com o círculo. Sabe-se que as medidas dos lados AB, BC e CD formam, nessa ordem, uma progressão aritmética crescente de números inteiros e que a medida do lado DA é 3. Considerando que a medida do segmento TA é um número inteiro, as medidas dos lados AB, BC e CD são, respectivamente:
Unicamp · 2022
Questão 19 — Unicamp 2022
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Os dois segmentos tangentes traçados de um mesmo vértice até o círculo são iguais. Isso dá AB + CD = BC + DA.
Resolução
O que você precisa saber
- Segmentos tangentes de um ponto externo a um círculo têm a mesma medida.
- Quadrilátero circunscrito: somas dos lados opostos são iguais (Pitot).
- PA de três termos: b − r, b, b + r.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: os três lados, usando a propriedade das tangentes e a condição de TA inteiro.
ESTRUTURAR
Sejam a = TA, e b, c, d as tangentes a partir de B, C, D (todas positivas):
AB = a + b, BC = b + c, CD = c + d, DA = a + d = 3.
PA: AB = m - r, BC = m, CD = m + r, com r inteiro positivo.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar Pitot para achar BC e depois testar a condição de TA inteiro.
A armadilha: usar só a PA e o Pitot e marcar 1, 3, 5. Essa opção cumpre as duas condições, mas exige TA < 1, e TA tem de ser inteiro.
CALCULAR
Pitot: AB + CD = BC + DA \Rightarrow 2m = m + 3 \Rightarrow m = 3. Isso elimina C e D.
a e d são positivos, a é inteiro e a + d = 3, então a = 1 ou a = 2.
Opção A: AB = 1 = a + b exigiria b \le 0. Impossível.
Opção B: AB = 2, BC = 3, CD = 4. Com a = 1: b = 1, c = 2, d = 2. Todas positivas e a + d = 3.
CONFERIR
Na opção B: AB + CD = 6 = BC + DA. E as tangentes 1, 1, 2, 2 reconstroem os quatro lados. Alternativa B.
Resposta
2, 3 e 4.
Alternativa correta
B