Dados os números reais positivos a_1, a_2, \ldots, a_n, a média geométrica M destes termos é calculada por:
M = \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}.A média geométrica de 1, 10, 100, \ldots, 10^{22} é:
Unicamp · 2022
Questão 16 — Unicamp 2022
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Conte os termos: de 10^0 até 10^{22} são 23. No produto, os expoentes se somam.
Resolução
O que você precisa saber
- 10ᵃ · 10ᵇ = 10ᵃ⁺ᵇ.
- Soma de 0 a n: n(n + 1)/2.
- Raiz de índice n de 10ᵏ = 10^(k/n).
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a raiz 23ª do produto 10^0 \cdot 10^1 \cdots 10^{22}.
ESTRUTURAR
Produto: 10^{0 + 1 + \cdots + 22}. Número de termos: 23.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Somar os expoentes como PA e dividir por 23.
A armadilha: contar 22 termos (esquecendo o 1 = 10^0) e dividir por 22.
CALCULAR
0 + 1 + \cdots + 22 = \frac{22 \cdot 23}{2} = 253.
M = \sqrt[23]{10^{253}} = 10^{253/23} = 10^{11}.
CONFERIR
Os expoentes 0 a 22 estão em PA, e a média deles é o termo do meio, 11. A média geométrica de potências de 10 é 10 elevado à média dos expoentes. Alternativa A.
Resposta
10^{11}.
Alternativa correta
A