Seja x um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita são 1, 2x, -3x + 1, nesta ordem. Sabendo que todos os termos da progressão são positivos, a soma de todos eles é igual a
Unicamp · 2021
Questão 30 — Unicamp 2021
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Numa PG, o termo do meio ao quadrado é o produto dos vizinhos: (2x)^2 = 1 \cdot (-3x + 1).
Resolução
O que você precisa saber
- Três termos em PG: b² = a · c.
- Soma da PG infinita: a₁ / (1 − q), com |q| < 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de x que deixa todos os termos positivos e, depois, a soma infinita.
ESTRUTURAR
4x^2 = -3x + 1, ou seja, 4x^2 + 3x - 1 = 0.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Resolver, descartar a raiz que dá termos negativos e somar.
A armadilha: ficar com x = -1, que dá termos 1, -2, 4 (razão -2, sem soma infinita).
CALCULAR
x = \frac{-3 \pm 5}{8}: x = \frac{1}{4} ou x = -1.
Com x = \frac{1}{4}: termos 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, razão \frac{1}{2}.
S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2.
CONFERIR
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots se aproxima de 2. Alternativa B.
Resposta
2.
Alternativa correta
B