A figura abaixo exibe um quadrado ABCD em que M é o ponto médio do lado CD.
Com base na figura, \text{tg}(\theta) + \text{tg}(\alpha) é igual a
Unicamp · 2021
Questão 28 — Unicamp 2021
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
No triângulo retângulo MCB, \text{tg}\,\alpha = \frac{CB}{MC} = 2. No triângulo formado por M, C e o cruzamento, os ângulos são \alpha, 45° e \theta.
Resolução
O que você precisa saber
- tg(α + θ) = (tg α + tg θ) / (1 − tg α · tg θ).
- A diagonal do quadrado faz 45° com os lados.
- tg 135° = −1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: \text{tg}\,\theta, depois somar com \text{tg}\,\alpha = 2.
ESTRUTURAR
Com lado 2: MC = 1, CB = 2, então \text{tg}\,\alpha = 2.
No triângulo M, C, cruzamento: \alpha + \theta + 45° = 180°, ou seja, \alpha + \theta = 135°.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar \text{tg}(\alpha + \theta) = -1 e isolar \text{tg}\,\theta.
A armadilha: tratar \theta como ângulo de um triângulo retângulo e somar tangentes como se fossem ângulos.
CALCULAR
\frac{2 + \text{tg}\,\theta}{1 - 2\,\text{tg}\,\theta} = -1
2 + \text{tg}\,\theta = -1 + 2\,\text{tg}\,\theta
\text{tg}\,\theta = 3.
\text{tg}\,\theta + \text{tg}\,\alpha = 3 + 2 = 5.
CONFERIR
\alpha \approx 63{,}4° e \theta \approx 71{,}6°: soma 135°, como deve ser. Alternativa C.
Resposta
5.
Alternativa correta
C