Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a
Unicamp · 2020
Questão 44 — Unicamp 2020
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O tetraedro regular tem 4 faces triangulares equiláteras; o cubo tem 6 faces quadradas.
Resolução
O que você precisa saber
- Área do triângulo equilátero de lado t: (√3/4)·t².
- Área total do cubo de aresta c: 6c².
- √(ab) = √a · √b e √(√3) = ⁴√3.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: \frac{t}{c} quando \sqrt{3}\,t^2 = 6c^2.
ESTRUTURAR
Tetraedro: 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 = \sqrt{3}\,t^2. Cubo: 6c^2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Igualar as áreas, isolar \frac{t^2}{c^2} e tirar a raiz com cuidado.
A armadilha: parar em \sqrt{2\sqrt{3}} (alternativa A) sem perceber que ela não é igual à forma pedida, ou errar a raiz e marcar B.
CALCULAR
\sqrt{3}\,t^2 = 6c^2 \Rightarrow \frac{t^2}{c^2} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}.
\frac{t}{c} = \sqrt{2\sqrt{3}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{3}} = \sqrt{2}\,\sqrt[4]{3}.
CONFERIR
\sqrt{2} \approx 1{,}414 e \sqrt[4]{3} \approx 1{,}316: t/c \approx 1{,}86. E 1{,}86^2 \approx 3{,}46 \approx 2\sqrt{3}. Alternativa C.
Observação: a alternativa A, \sqrt{2\sqrt{3}}, tem o mesmo valor de C. A Comvest marcou C, a forma simplificada, como correta.
Resposta
\sqrt{2}\,\sqrt[4]{3}.
Alternativa correta
C