A figura abaixo exibe o triângulo retângulo ABC, em que AB = AM = MC. Então, \text{tg}\,\theta é igual a
Unicamp · 2020
Questão 41 — Unicamp 2020
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O triângulo ABM é retângulo e isósceles: o ângulo A\hat{B}M é 45°. Então A\hat{B}C = 45° + \theta.
Resolução
O que você precisa saber
- tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β).
- tg 45° = 1.
- Triângulo retângulo isósceles tem ângulos agudos de 45°.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o ângulo \theta entre BM e BC.
ESTRUTURAR
Com AB = 1: AC = AM + MC = 2. No triângulo ABC, \text{tg}(45° + \theta) = \frac{AC}{AB} = 2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar a tangente da soma e isolar \text{tg}\,\theta.
A armadilha (alternativa A, quase 30%): achar que o ângulo em C também vale \theta e usar \text{tg} = \frac{1}{2}.
CALCULAR
\frac{1 + \text{tg}\,\theta}{1 - \text{tg}\,\theta} = 2
1 + \text{tg}\,\theta = 2 - 2\,\text{tg}\,\theta
3\,\text{tg}\,\theta = 1, então \text{tg}\,\theta = \frac{1}{3}.
CONFERIR
\text{tg}(45° + \theta) = \frac{1 + 1/3}{1 - 1/3} = \frac{4/3}{2/3} = 2. Confere. Alternativa B.
Resposta
\frac{1}{3}.
Alternativa correta
B