Sabendo que p é um número real, considere a matriz
A = \begin{bmatrix} p & 2 \\ 0 & p \end{bmatrix}e sua transposta A^T. Se A + A^T é singular (não invertível), então
Unicamp · 2020
Questão 39 — Unicamp 2020
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Matriz singular é a que tem determinante zero. Monte A + A^T primeiro.
Resolução
O que você precisa saber
- Transposta: troca linhas por colunas.
- Matriz singular ⇔ determinante igual a zero.
- Determinante 2 × 2: ad − bc.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: para que valores de p a matriz A + A^T tem determinante zero.
ESTRUTURAR
A^T = \begin{bmatrix} p & 0 \\ 2 & p \end{bmatrix}, então A + A^T = \begin{bmatrix} 2p & 2 \\ 2 & 2p \end{bmatrix}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular o determinante e igualar a zero.
A armadilha (alternativas A e C, cada uma com cerca de 24%): usar só A (cujo determinante p^2 dá p = 0) ou errar o determinante.
CALCULAR
\det(A + A^T) = 2p \cdot 2p - 2 \cdot 2 = 4p^2 - 4.
4p^2 - 4 = 0, então p^2 = 1 e |p| = 1.
CONFERIR
Com p = 1: \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}, linhas iguais, determinante 0. Alternativa B.
Resposta
|p| = 1.
Alternativa correta
B