Sabendo que a e b são números reais, considere o polinômio cúbico p(x) = x^3 + ax^2 + x + b. Se a soma e o produto de duas de suas raízes são iguais a -1, então p(1) é igual a
Unicamp · 2019
Questão 70 — Unicamp 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Chame as raízes de r, s e t, com r + s = -1 e rs = -1. Use Girard na soma e no produto das três.
Resolução
O que você precisa saber
- Em x³ + ax² + cx + b: soma das raízes = −a; produto = −b.
- p(1) = 1 + a + 1 + b.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a + b, porque p(1) = 2 + a + b.
ESTRUTURAR
• Soma: r + s + t = -1 + t = -a, então t = 1 - a.
• Produto: rst = -1 \cdot t = -b, então t = b.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Igualar as duas expressões de t.
A armadilha: tentar achar a e b separados. Só a soma a + b importa.
CALCULAR
1 - a = b, então a + b = 1.
p(1) = 1 + a + 1 + b = 2 + 1 = 3.
CONFERIR
Pela soma dos produtos dois a dois: rs + t(r + s) = -1 - t = 1 dá t = -2, então b = -2 e a = 3. p(x) = x^3 + 3x^2 + x - 2 tem p(-2) = 0 e p(1) = 3. Alternativa D.
Resposta
3.
Alternativa correta
D