No plano cartesiano, considere a circunferência de equação x^2 + y^2 - 4y + 3 = 0 e a parábola de equação 3x^2 - y + 1 = 0. Essas duas curvas se interceptam em
Unicamp · 2019
Questão 69 — Unicamp 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Da parábola, x^2 = \frac{y - 1}{3}. Substitua na circunferência e ache os valores de y. Depois veja quantos x cada um dá.
Resolução
O que você precisa saber
- Resolver sistema por substituição.
- Cada y com x² > 0 dá dois pontos; com x² = 0, um ponto.
- Bhaskara.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantas soluções (x, y) o sistema tem.
ESTRUTURAR
• Circunferência: centro (0, 2), raio 1.
• Parábola: y = 3x^2 + 1, vértice (0, 1).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Eliminar x^2 e resolver em y.
A armadilha (alternativa B, marcada por quase metade): achar que duas cônicas se cortam em dois pontos. O vértice da parábola encosta na circunferência, e isso dá um terceiro ponto.
CALCULAR
\frac{y - 1}{3} + y^2 - 4y + 3 = 0
3y^2 - 11y + 8 = 0, com \Delta = 121 - 96 = 25.
y = \frac{11 \pm 5}{6}: y = \frac{8}{3} ou y = 1.
y = \frac{8}{3}: x^2 = \frac{5}{9}, x = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} (dois pontos).
y = 1: x^2 = 0, x = 0 (um ponto).
CONFERIR
(0, 1) está nas duas curvas: 0 + 1 - 4 + 3 = 0 e 0 - 1 + 1 = 0. Total: 3 pontos. Alternativa C.
Resposta
Três pontos.
Alternativa correta
C