Sejam k e \theta números reais tais que \operatorname{sen}\theta e \cos\theta são soluções da equação quadrática 2x^2 + x + k = 0. Então, k é um número
Unicamp · 2019
Questão 64 — Unicamp 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Soma das raízes: -\frac{1}{2}. Produto: \frac{k}{2}. Eleve a soma ao quadrado e use \operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1.
Resolução
O que você precisa saber
- Em ax² + bx + c = 0: soma = −b/a e produto = c/a.
- sen²θ + cos²θ = 1.
- (s + c)² = s² + c² + 2sc.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de k e que tipo de número ele é.
ESTRUTURAR
• \operatorname{sen}\theta + \cos\theta = -\frac{1}{2}.
• \operatorname{sen}\theta \cos\theta = \frac{k}{2}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Elevar a soma ao quadrado para fazer aparecer o produto.
A armadilha: travar na trigonometria e chutar. As alternativas C e D tiveram quase a mesma escolha que a certa.
CALCULAR
(\operatorname{sen}\theta + \cos\theta)^2 = \frac{1}{4}
1 + 2\operatorname{sen}\theta\cos\theta = \frac{1}{4}, então \operatorname{sen}\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}.
\frac{k}{2} = -\frac{3}{8}, logo k = -\frac{3}{4}.
CONFERIR
Com k = -\frac{3}{4}, o discriminante é 1 - 8k = 1 + 6 = 7 > 0: há duas raízes reais. -\frac{3}{4} é racional e não é inteiro. Alternativa B.
Resposta
k = -\frac{3}{4}, um racional não inteiro.
Alternativa correta
B