Sejam a e b números reais não nulos. Se o número complexo z = a + bi é uma raiz da equação quadrática x^2 + bx + a = 0, então
Unicamp · 2018
Questão 29 — Unicamp 2018
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Substitua z na equação e iguale a parte real e a parte imaginária a zero.
Resolução
O que você precisa saber
- (a + bi)² = a² − b² + 2abi.
- Complexo nulo: parte real e parte imaginária iguais a zero.
- |z| = √(a² + b²).
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a e b, e depois |z|.
ESTRUTURAR
• Parte real: a^2 - b^2 + ab + a = 0.
• Parte imaginária: 2ab + b^2 = 0.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Da parte imaginária, b(2a + b) = 0 e, como b \ne 0, b = -2a.
A armadilha: esquecer que b também está na equação e tratar como coeficientes fixos.
CALCULAR
a^2 - 4a^2 - 2a^2 + a = 0, então a(1 - 5a) = 0 e a = \frac{1}{5}.
b = -\frac{2}{5}.
|z| = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{1}{\sqrt{5}}.
CONFERIR
z = \frac{1 - 2i}{5}, z^2 = \frac{-3 - 4i}{25}, bz = \frac{-2 + 4i}{25} e a = \frac{5}{25}. Soma: \frac{-3 - 2 + 5}{25} + \frac{-4 + 4}{25}i = 0. Alternativa B.
Resposta
|z| = 1/\sqrt{5}.
Alternativa correta
B