Sejam p(x) e q(x) polinômios com coeficientes reais. Dividindo-se p(x) por q(x), obtêm-se quociente e resto iguais a x^2 + 1. Nessas condições, é correto afirmar que
Unicamp · 2018
Questão 28 — Unicamp 2018
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva p = q \cdot (x^2 + 1) + (x^2 + 1) e coloque x^2 + 1 em evidência.
Resolução
O que você precisa saber
- Divisão: dividendo = divisor · quociente + resto.
- Grau do resto < grau do divisor.
- x² + 1 = 0 tem raízes i e −i.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: que afirmação vale sempre, para quaisquer p e q nessas condições.
ESTRUTURAR
• p(x) = (x^2 + 1)\,[q(x) + 1].
• Resto de grau 2: q tem grau pelo menos 3.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Testar cada alternativa com o fator x^2 + 1 e com o grau.
A armadilha (alternativa D, a mais marcada): achar que q sempre tem raiz real. Um q de grau 4, como x^4 + 1, não tem nenhuma.
CALCULAR
p(i) = (i^2 + 1)[q(i) + 1] = 0 e p(-i) = 0: p tem as raízes complexas \pm i.
A: \operatorname{gr} q \ge 3 dá \operatorname{gr} p \ge 5. Falsa.
B: \operatorname{gr} q \ge 3. Falsa.
CONFERIR
Exemplo: q = x^3 dá p = x^5 + x^3 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)(x^3 + 1), que se anula em x = i. Alternativa C.
Resposta
p(x) tem raízes complexas (i e -i).
Alternativa correta
C