No plano cartesiano, sejam C a circunferência de centro na origem e raio r > 0 e s a reta de equação x + 3y = 10. A reta s intercepta a circunferência C em dois pontos distintos se e somente se
Unicamp · 2018
Questão 27 — Unicamp 2018
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
A reta corta a circunferência em dois pontos quando a distância do centro à reta é menor que o raio.
Resolução
O que você precisa saber
- Distância de ponto a reta: |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²).
- Secante: distância < raio.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a distância da origem à reta x + 3y - 10 = 0.
ESTRUTURAR
• Centro (0, 0), reta x + 3y - 10 = 0.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar a fórmula da distância.
A armadilha (alternativa C, quase tão marcada quanto a certa): olhar onde a reta corta o eixo y (y = \frac{10}{3} \approx 3{,}3) e achar que basta r > 3. O ponto mais perto da origem não está no eixo.
CALCULAR
d = \dfrac{|0 + 0 - 10|}{\sqrt{1 + 9}} = \dfrac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}.
Dois pontos: r > \sqrt{10}.
CONFERIR
Por substituição: x = 10 - 3y em x^2 + y^2 = r^2 dá 10y^2 - 60y + 100 - r^2 = 0, com \Delta = 40(r^2 - 10) > 0. Alternativa D.
Resposta
r > \sqrt{10}.
Alternativa correta
D