A figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões de mesma área. A razão a/b é igual a
Unicamp · 2018
Questão 22 — Unicamp 2018
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O setor inteiro (raio a + b) tem o dobro da área do setor de dentro (raio a). Com o mesmo ângulo, a área é proporcional ao quadrado do raio.
Resolução
O que você precisa saber
- Área do setor: (θ/2)·r², com θ em radianos.
- Mesmo ângulo: razão das áreas = razão dos raios ao quadrado.
- Equação do 2º grau.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: r = \frac{a}{b} com (a + b)^2 = 2a^2.
ESTRUTURAR
• \frac{\theta}{2}(a + b)^2 = 2 \cdot \frac{\theta}{2}a^2.
• Dividindo por b^2: (r + 1)^2 = 2r^2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Tirar a raiz direto: a + b = \sqrt{2}\,a.
A armadilha (alternativa D): achar que a/b é a própria razão \sqrt{2} entre os raios. \sqrt{2} é \frac{a + b}{a}, não \frac{a}{b}.
CALCULAR
a + b = \sqrt{2}\,a, então b = (\sqrt{2} - 1)a.
\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1.
CONFERIR
Com b = 1 e a = \sqrt{2} + 1: a + b = \sqrt{2} + 2 = \sqrt{2}(1 + \sqrt{2}) = \sqrt{2}\,a. Raio multiplicado por \sqrt{2}, área dobrada. Alternativa B.
Resposta
\sqrt{2} + 1.
Alternativa correta
B