Seja x um número real, 0 < x < \pi/2, tal que a sequência (\tan x, \sec x, 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a
Unicamp · 2017
Questão 25 — Unicamp 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Na PA, o termo do meio é a média: 2\sec x = \tan x + 2. Use \sec^2 x = 1 + \tan^2 x.
Resolução
O que você precisa saber
- PA de 3 termos: 2·(meio) = soma dos extremos.
- sec²x = 1 + tg²x.
- No 1º quadrante, tg e sec são positivas.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a razão r = 2 - \sec x.
ESTRUTURAR
• 2\sec x = \tan x + 2.
• Elevar ao quadrado: 4\sec^2 x = \tan^2 x + 4\tan x + 4.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Trocar \sec^2 x por 1 + \tan^2 x e resolver em \tan x.
A armadilha (alternativa C): responder \tan x = \frac{4}{3} em vez da razão.
CALCULAR
4 + 4\tan^2 x = \tan^2 x + 4\tan x + 4
3\tan^2 x - 4\tan x = 0, então \tan x = \frac{4}{3} (\tan x = 0 não serve em 0 < x < \frac{\pi}{2}).
\sec x = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \frac{5}{3}.
r = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}.
CONFERIR
PA: \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{6}{3}. Razão \frac{1}{3}. Alternativa D.
Resposta
r = 1/3.
Alternativa correta
D