Considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura abaixo, em que AB = 2 cm, BC = 1 cm e CD = 5 cm. Então, o ângulo \theta é igual a
Unicamp · 2017
Questão 26 — Unicamp 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
\theta = \widehat{BAD} - \widehat{BAC}. As tangentes desses ângulos saem dos catetos: \frac{6}{2} e \frac{1}{2}.
Resolução
O que você precisa saber
- Tangente no triângulo retângulo: oposto / adjacente.
- tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β).
- Ou: lei dos cossenos no triângulo ACD.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o ângulo entre AC e AD.
ESTRUTURAR
• \tan \widehat{BAD} = \frac{BD}{AB} = \frac{6}{2} = 3.
• \tan \widehat{BAC} = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar a tangente da diferença.
A armadilha: chutar um ângulo notável pela figura.
CALCULAR
\tan\theta = \dfrac{3 - \frac{1}{2}}{1 + 3 \cdot \frac{1}{2}} = \dfrac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} = 1.
\theta = 45°.
CONFERIR
Lei dos cossenos em ACD: AC = \sqrt{5}, AD = \sqrt{40}, CD = 5.
25 = 5 + 40 - 2\sqrt{5}\sqrt{40}\cos\theta, então \cos\theta = \frac{20}{2\sqrt{200}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. Alternativa C.
Resposta
45°.
Alternativa correta
C