Sendo a um número real, considere a matriz A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. Então, A^{2017} é igual a
Unicamp · 2017
Questão 20 — Unicamp 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Calcule A^2 e veja o que acontece.
Resolução
O que você precisa saber
- Produto de matrizes: linha por coluna.
- Se A² = I, as potências alternam entre A e I.
- Potência de matriz não é elevar cada elemento.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o padrão das potências de A.
ESTRUTURAR
• A^2 = \begin{pmatrix} 1 & a - a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar A^{2017} = (A^2)^{1008} \cdot A.
A armadilha (alternativa D, a mais marcada): elevar cada elemento à potência 2017. Potência de matriz é produto de matrizes.
CALCULAR
A^{2017} = (A^2)^{1008} \cdot A = I^{1008} \cdot A = A.
CONFERIR
Expoente ímpar dá A; expoente par dá I. 2017 é ímpar. Alternativa B.
Resposta
A^{2017} = A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
Alternativa correta
B