Considere as funções f(x) = 3^x e g(x) = x^3, definidas para todo número real x. O número de soluções da equação f(g(x)) = g(f(x)) é igual a
Unicamp · 2017
Questão 17 — Unicamp 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
f(g(x)) = 3^{x^3} e g(f(x)) = (3^x)^3 = 3^{3x}. Iguale os expoentes.
Resolução
O que você precisa saber
- Composição: g dentro de f.
- (3^x)³ = 3^{3x}.
- Mesma base: iguala os expoentes.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantos x reais satisfazem x^3 = 3x.
ESTRUTURAR
• 3^{x^3} = 3^{3x}, então x^3 = 3x.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Fatorar, sem dividir por x.
A armadilha (alternativa B): dividir por x e perder a solução x = 0. A alternativa A, a errada mais marcada, vem de achar só uma solução.
CALCULAR
x^3 - 3x = 0
x(x^2 - 3) = 0
x = 0, x = \sqrt{3} ou x = -\sqrt{3}: três soluções.
CONFERIR
x = \sqrt{3}: x^3 = 3\sqrt{3} = 3x. x = 0: os dois lados valem 3^0 = 1. Alternativa C.
Resposta
3 soluções.
Alternativa correta
C