Considere o número complexo z = \dfrac{1 + ai}{a - i}, onde a é um número real e i é a unidade imaginária, isto é, i^2 = -1. O valor de z^{2016} é igual a
Unicamp · 2016
Questão 54 — Unicamp 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Repare que i(a - i) = ai + 1. Então z é um número bem simples.
Resolução
O que você precisa saber
- Divisão de complexos: multiplicar pelo conjugado.
- Potências de i se repetem de 4 em 4: i⁴ = 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: simplificar z e calcular a potência.
ESTRUTURAR
• 1 + ai = i(a - i).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Simplificar a fração e usar o ciclo de i.
A armadilha (alternativa C): aplicar a potência como se fosse (1 + i)^n \approx 1 + ni.
CALCULAR
z = \dfrac{i(a - i)}{a - i} = i.
z^{2016} = i^{2016} = (i^4)^{504} = 1.
CONFERIR
Pelo conjugado: \dfrac{(1 + ai)(a + i)}{a^2 + 1} = \dfrac{a + i + a^2 i - a}{a^2 + 1} = \dfrac{i(a^2 + 1)}{a^2 + 1} = i. Alternativa B.
Resposta
1.
Alternativa correta
B