Considere o polinômio cúbico p(x) = x^3 + x^2 - ax - 3, onde a é um número real. Sabendo que r e -r são raízes reais de p(x), podemos afirmar que p(1) é igual a
Unicamp · 2016
Questão 53 — Unicamp 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva p(r) = 0 e p(-r) = 0. Somando, os termos ímpares somem; subtraindo, os pares somem.
Resolução
O que você precisa saber
- (−r)³ = −r³ e (−r)² = r².
- Somar e subtrair equações para eliminar termos.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de a, e depois p(1).
ESTRUTURAR
• p(r) = r^3 + r^2 - ar - 3 = 0.
• p(-r) = -r^3 + r^2 + ar - 3 = 0.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Somar e subtrair.
A armadilha (alternativa C, a mais marcada): supor a = 1 e calcular p(1) = -2.
CALCULAR
Somando: 2r^2 - 6 = 0, então r^2 = 3.
Subtraindo: 2r^3 - 2ar = 0, e como r \ne 0, a = r^2 = 3.
p(1) = 1 + 1 - 3 - 3 = -4.
CONFERIR
p(x) = x^3 + x^2 - 3x - 3 = (x + 1)(x^2 - 3): raízes -1, \sqrt{3} e -\sqrt{3}. Alternativa D.
Resposta
p(1) = -4.
Alternativa correta
D