Um cilindro circular reto, cuja altura é igual ao diâmetro da base, está inscrito numa esfera. A razão entre os volumes da esfera e do cilindro é igual a
Unicamp · 2016
Questão 52 — Unicamp 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O corte pelo eixo é um quadrado de lado 2r dentro de um círculo de raio R. O raio da esfera é metade da diagonal do quadrado.
Resolução
O que você precisa saber
- Volume da esfera: (4/3)πR³.
- Volume do cilindro: πr²h.
- Diagonal do quadrado de lado ℓ: ℓ√2.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: \dfrac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{cilindro}}} com h = 2r.
ESTRUTURAR
• R^2 = r^2 + r^2, então R = r\sqrt{2}.
• V_c = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Escrever os dois volumes em função de r.
A armadilha (alternativa B): usar R = r, esquecendo que a esfera passa pelos cantos do cilindro.
CALCULAR
V_e = \frac{4}{3}\pi (r\sqrt{2})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 2\sqrt{2}\,r^3 = \frac{8\sqrt{2}}{3}\pi r^3.
\dfrac{V_e}{V_c} = \dfrac{\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi r^3}{2\pi r^3} = \dfrac{4\sqrt{2}}{3}.
CONFERIR
\frac{4\sqrt{2}}{3} \approx 1{,}89 > 1: a esfera é maior que o cilindro dentro dela, como deve ser. Alternativa A.
Resposta
4\sqrt{2}/3.
Alternativa correta
A