Considere a matriz quadrada de ordem 3,
A = \begin{pmatrix} \cos x & 0 & -\operatorname{sen} x \\ 0 & 1 & 0 \\ \operatorname{sen} x & 0 & \cos x \end{pmatrix},onde x é um número real. Podemos afirmar que
Unicamp · 2016
Questão 49 — Unicamp 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
A é invertível quando \det A \ne 0. Desenvolva pela linha do meio.
Resolução
O que você precisa saber
- Matriz invertível ⟺ determinante diferente de zero.
- sen²x + cos²x = 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: para quais x o determinante de A é diferente de zero.
ESTRUTURAR
• Pela linha 2: \det A = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} \cos x & -\operatorname{sen} x \\ \operatorname{sen} x & \cos x \end{pmatrix}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular o determinante 2 × 2.
A armadilha (alternativa C, quase tão marcada quanto a certa): achar que o determinante zera em algum ângulo especial, sem calcular.
CALCULAR
\det A = \cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x = 1.
Nunca é zero.
CONFERIR
Em x = 0, A = I, invertível. Em x = \frac{\pi}{2}, \det A = 0 + 1 = 1. Alternativa D.
Resposta
A é invertível para todo x.
Alternativa correta
D