Seja (a, b, c) uma progressão geométrica de números reais com a \ne 0. Definindo s = a + b + c, o menor valor possível para s/a é igual a
Unicamp · 2016
Questão 47 — Unicamp 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Com razão q: b = aq e c = aq^2. Então \frac{s}{a} = 1 + q + q^2. Ache o mínimo dessa parábola.
Resolução
O que você precisa saber
- PG: cada termo é o anterior vezes q.
- Mínimo de q² + q + 1: vértice em q = −1/2.
- A razão q pode ser negativa.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o menor valor de 1 + q + q^2 para q real.
ESTRUTURAR
• \frac{s}{a} = \frac{a + aq + aq^2}{a} = 1 + q + q^2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular o vértice da parábola.
A armadilha: pensar só em razão positiva. Aí a soma nunca fica abaixo de 1 e nenhuma alternativa bate. A razão negativa é que diminui a soma.
CALCULAR
q_v = -\frac{1}{2}.
1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
CONFERIR
Completando quadrado: 1 + q + q^2 = \left(q + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}. PG exemplo: (4, -2, 1), soma 3, e \frac{3}{4}. Alternativa C.
Resposta
3/4.
Alternativa correta
C