Considere o polinômio p(x) = x^3 - x^2 + ax - a, onde a é um número real. Se x = 1 é a única raiz real de p(x), então podemos afirmar que
Unicamp · 2015
Questão 89 — Unicamp 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Agrupe: x^2(x - 1) + a(x - 1).
Resolução
O que você precisa saber
- Fatoração por agrupamento.
- x² + a = 0 não tem raiz real quando a > 0.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: os valores de a para os quais o fator que sobra não traz novas raízes reais.
ESTRUTURAR
p(x) = (x - 1)(x^2 + a).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Exigir que x^2 + a = 0 não tenha raiz real diferente de 1.
A armadilha: aceitar a = 0. Aí x^2 = 0 dá a raiz 0, e 1 deixa de ser a única. Por isso a > 0, e não a \ge 0.
CALCULAR
x^2 = -a não tem solução real se, e só se, -a < 0, ou seja, a > 0.
Se a < 0, surgem as raízes \pm\sqrt{-a}. Se a = 0, surge a raiz 0.
CONFERIR
a = 1: p(x) = (x - 1)(x^2 + 1), única raiz real 1. a = -1: (x - 1)(x^2 - 1) tem raiz -1. A alternativa D (a > 1) é verdadeira para alguns casos, mas deixa de fora valores como a = 0{,}5, que também servem. Alternativa C.
Resposta
a > 0.
Alternativa correta
C