A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento.
A medida do ângulo \theta é igual a
Unicamp · 2015
Questão 87 — Unicamp 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Ligue os dois vértices vizinhos de \theta. Esse segmento fecha um triângulo isósceles com dois lados do pentágono; calcule o comprimento dele.
Resolução
O que você precisa saber
- Soma dos ângulos internos do pentágono: 540°.
- Triângulo isósceles de lados 1, 1 e √3 tem ângulo de 120° entre os lados iguais.
- Distância entre dois pontos no plano.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o ângulo \theta, que não sai só da soma 540° (há dois ângulos desconhecidos).
ESTRUTURAR
Lado 1. Vértices: P_1 = (0, 0) (ângulo reto), P_2 = (1, 0) (135°), P_5 = (0, 1) (acima de P_1).
Em P_2, o ângulo interno de 135° faz o lado seguinte subir a 45°: P_3 = \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right).
\theta está em P_4, que fica a distância 1 de P_3 e de P_5.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular P_3P_5 e usar o triângulo isósceles P_3P_4P_5.
A armadilha: supor que os dois ângulos desconhecidos são iguais e dividir o que sobra: \frac{540 - 90 - 135}{3} = 105^\circ, a alternativa A.
CALCULAR
P_3P_5^2 = \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right)^2 = 2\left(1 + \frac{1}{2}\right) = 3, então P_3P_5 = \sqrt{3}.
No triângulo P_3P_4P_5, com lados 1, 1 e \sqrt{3}, lei dos cossenos:
3 = 1 + 1 - 2\cos\theta \Rightarrow \cos\theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = 120^\circ.
CONFERIR
Sobra para os outros dois ângulos: 540 - 90 - 135 - 120 = 195^\circ. Pelo triângulo P_3P_4P_5 e pelo quadrilátero P_1P_2P_3P_5, esses ângulos são 90° e 105°: 90 + 105 = 195. Confere. Alternativa B.
Resposta
\theta = 120^\circ.
Alternativa correta
B