Considere a matriz A = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{bmatrix}, onde a e b são números reais. Se A^2 = A e A é invertível, então
Unicamp · 2015
Questão 81 — Unicamp 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Calcule A^2 e compare cada entrada com A. Invertível significa determinante diferente de zero.
Resolução
O que você precisa saber
- Produto de matrizes: linha da primeira × coluna da segunda.
- Matriz invertível tem determinante diferente de zero.
- Determinante de matriz triangular = produto da diagonal.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: os valores de a e b que cumprem as duas condições.
ESTRUTURAR
A^2 = \begin{bmatrix} a^2 & 0 \\ ab + b & 1 \end{bmatrix}\det A = a \cdot 1 - 0 \cdot b = a.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Igualar A^2 e A entrada por entrada e usar a \ne 0.
A armadilha: usar só A^2 = A, que também aceita a = 0 (alternativas C e D). Com a = 0, o determinante é zero e a matriz não é invertível.
CALCULAR
a^2 = a \Rightarrow a = 0 ou a = 1. Invertível: a \ne 0, então a = 1.
ab + b = b \Rightarrow ab = 0 \Rightarrow b = 0 (pois a = 1).
CONFERIR
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, a identidade: A^2 = A e \det A = 1 \ne 0. Alternativa B.
Resposta
a = 1 e b = 0.
Alternativa correta
B